数据结构与算法分析：哈希表

以下是阅读了《算法导论》后，对哈希表的一些总结：

哈希表又叫散列表，是实现字典操作的一种有效数据结构。哈希表的查询效率极高，在没有冲突（后面会介绍）的情况下可做到一次存取便能得到所查记录，在理想情况下，查找一个元素的平均时间为O(1)（最差情况下散列表中查找一个元素的时间与链表中查找的时间相同：O(n)，但实际情况中一般散列表的性能是比较好的）。

哈希表就是描述key—value对的映射问题的数据结构，更详细的描述是：在记录的存储位置和它的关键字之间建立一个确定的对应关系h，使每个关键字与哈希表中唯一一个存储位置相对应。我们称这个对应关系f为哈希/散列函数，这个存储结构即为哈希/散列表。

一、直接寻址表

当关键字的全域U比较小时，直接寻址是一种简单而有效的技术，它的哈希函数很简单：f(key) = key，即关键字大小直接与元素所在的表位置序号相等。如果关键字不是整数，我们需要通过某种手段将其转换为整数，比如可以将字符关键字转化为其在字母表中的序号作为关键字。直接寻址法的优点是不会出现两个关键字对应到同一个地址的情况（即不会出现f（key1） = f(key2)的情况），因此不用处理冲突。但是，直接寻址表也有着天然的局限性，即如果全域U很大，则在一台标准的计算机可用内存容量中，要存储大小为U的一张表并不实际。

二、散列表

上面说到，在处理实际数据的时候，全域U往往会很大，则在一台标准的计算机可用内存容量中，要存储大小为U的一张表也许不太实际，此时实际需要存储的关键字集合K可能相对U来说很小，这时散列表需要的存储空间要比直接表少很多。

散列表T通过散列函数f计算出关键字key在表中的位置，这些位置被称为“槽”。散列函数f将关键字域U映射到散列表T[0...m-1]的槽位上。由于关键字的个数要大于槽的个数，这里会出现一个问题：若干个关键字可能映射到了表的同一个位置处，我们称这种情形为冲突。我们希望散列表在节省空间的同时，其性能要接近于O(1)，因此需要尽量避免冲突，通常的策略是尽可能地设计更好的哈希函数f，将关键字尽可能随机地映射到散列表的每个位置上（为什么说尽可能？因为这里关键字的个数|U|肯定大于散列表的槽个数m，因此至少有两个关键字被映射到同一个槽中，只依靠哈希函数f是无法完全避免冲突的）。

三、哈希函数

哈希函数的构造方法很多，最好的情况是：对于关键字结合中的任一个关键字，经哈希函数映射到地址集合中任何一个地址的概率相等，也就是说，关键字经过哈希函数得到一个随机的地址，以便使一组关键字的哈希地址均匀分布在整个地址空间中，从而减少冲突。同样，由于多数哈希函数都是假定关键字的全域为自然数集N={0、1、2….}，因此所给关键字如果不是自然数，就要先想办法将其转换为自然数。下面我们就来看常用的哈希函数。

1.直接定址法

对应前面的直接寻址表，关键字与哈希表中的地址有着一一对应关系，因此不需要处理冲突。

2.除法散列法

哈希函数：f(key) = key % m

函数对所给关键字key取余，这里 m 必须不能大于哈希表的长度len，通常 m 可取一个不太接近2的整数次幂的素数。

3.乘法散列法

用关键字key乘上A（0 < A < 1），取出其小数部分，然后用 m 乘以小数的值，再向下取整，该函数写为：f(key) = floor(m * (key * A % 1))

其中，(key * A % 1)是取(key * A)的小数部分，该函数涉及到参数A的取值问题。Knuth认为，A = (sqrt(5)-1)/2 = 0.6180339877...是个比较理想的值，事实上，该点就是黄金分割点。

除法散列法和乘法散列法是较为常用的哈希函数设计方法，事实上方法还有很多种，如全域散列法、折叠法、数字分析法等，更多的介绍请参考相关书籍。

四、冲突处理

前面提到，为了节省空间，表中槽的数目小于关键字的数目，只是通过设计好的哈希函数不可能完全避免冲突。下面介绍两种解决冲突的方法：链接法和开放定址法。

1.链接法(chaining)

链接法的思路很简单：如果多个关键字映射到了哈希表的同一个位置处（将这些关键字称为同义词），则将这些同义词记录在同一个线性链表中，该槽有一个指针，它指向存储所有散列到该槽的元素的链表表头，如下图所示：

图中，关键字k1和k4映射到了哈希表的同一个位置处，k5、k2、k7映射到了哈希表的同一个位置处。《算法导论》提到，为了更快地删除某个元素，可以将链表设计为双向链表。如果表是单链接的，则为了删除元素x，首先必须在表T[h(x,key)]中找到元素x，然后通过更改x的前去元素的next属性，把x从链表中删除。在单链表的情况下，删除和查找操作的渐近运行时间相同。另一个例子如下：

2.开放定址法(open addressing)

在开放定址法中，所有的元素都存放在散列表中，也即是说，每个表项或包含动态集合的一个元素，或为空，不再使用链表。哈希表中的槽t不仅向哈希函数值等于t的同义词开放，而且向哈希函数值不等于t的记录开放，允许以“抢占”的方式争取哈希地址。

该方法采用如下公式记性再散列：

F(key,i) = (f(key) + di) % len

其中，f(key)为哈希函数，len为哈希表长，di为增量序列，它可能有如下三种情况：

di = 1,2,3...m-1
di = 1，-1，4，-4，9，-9...k^2，-k^2
di为伪随机序列

采用第一种序列的叫做线性探测再散列，采用第二种序列的叫做二次探测再散列，采用第三种序列的叫做随机探测再散列。说白了，就是在发生冲突时，将关键字应该放入的位置向前或向后移动若干位置，比如采取第一种序列时，如果遇到冲突，就向后移动一个位置来检测，如果还发生冲突，继续向后移动，直到遇到一个空槽，则将该关键字插入到该位置处。

线性探测比较容易实现，但是它存在一个问题，称为一次群集。随着连续被占用的槽不断增加，平均查找时间也随之不断增加，群集现象很容易出现，这是因为当一个空槽前有i个满槽时，该空槽为下一个将被占用的概率为(di+1)len。

同样采用二次探测的方法，会产生二次群集，因为每次遇到冲突时，寻找插入位置时都是在跳跃性前进或后退，因此这个相对于一次群集来说，比较轻度。

五、一些例子

已知关键字序列：26，36，41，38，44，15，68，12，06，51，25。

用除法散列法构造哈希函数，线性探测再散列法解决冲突。现在需要：①建哈希表；②求查找成功和失败的平均搜索长度(ASL)。

解法：题中关键字个数n = 11，设装载因子α = 0.75，m = n / α，取m为素数13。哈希函数：f(key) = key % 13，以下图片给出了建哈希表的步骤：

哈希表的查找性能分析：

六、代码实现

下面用代码实现一个哈希表，这里采用链接法来处理冲突，描述数据结构的头文件的代码如下：

#define M 7     //哈希函数中的除数,必须小于等于表长
typedef int ElemType;// 该哈希表采用链接法解决冲突问题typedef struct Node
{   //Node为链表节点的数据结构ElemType data;struct Node *next;
}Node,*pNode;// 哈希表每个槽的数据结构
typedef struct HashNode
{   pNode first;    // first指向链表的第一个节点
}HashNode,*HashTable;// 创建哈希表
HashTable create_HashTable(int);// 在哈希表中查找数据
pNode search_HashTable(HashTable, ElemType);// 插入数据到哈希表
bool insert_HashTable(HashTable,ElemType);// 从哈希表中删除数据
bool delete_HashTable(HashTable,ElemType);// 销毁哈希表
void destroy_HashTable(HashTable,int);

首先建立一个空哈希表，而然后执行插入、删除、查询等操作，最后销毁哈希表，哈希表的实现代码如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include "data_structure.h"// 创建n个槽的哈希表
HashTable create_HashTable(int n)
{int i;HashTable hashtable = (HashTable)malloc(n*sizeof(HashNode));if(!hashtable){printf("hashtable malloc faild,program exit...");exit(-1);}// 将哈希表置空for(i=0;i<n;i++)hashtable[i].first = NULL;return hashtable;
}// 在哈希表中查找数据，哈希函数为H(key)=key % M
// 查找成功则返回在链表中的位置
// 查找不成功则返回NULL
pNode search_HashTable(HashTable hashtable, ElemType data)
{if(!hashtable)return NULL;pNode pCur = hashtable[data%M].first;while(pCur && pCur->data != data)pCur = pCur->next;return pCur;
}// 向哈希表中插入数据，哈希函数为H(key)=key%M
// 如果data已存在，则返回fasle
// 否则，插入对应链表的最后并返回true
bool insert_HashTable(HashTable hashtable,ElemType data)
{// 如果已经存在，返回falseif(search_HashTable(hashtable,data))return false;// 否则为插入数据分配空间pNode pNew = (pNode)malloc(sizeof(Node));if(!pNew){printf("pNew malloc faild,program exit...");exit(-1);}pNew->data = data;pNew->next = NULL;// 将节点插入到对应链表的最后pNode pCur = hashtable[data%M].first;if(!pCur)   // 插入位置为链表第一个节点的情况hashtable[data%M].first = pNew;else    // 插入位置不是链表第一个节点的情况{   // 只有用pCur->next才可以将pNew节点连到链表上，// 用pCur连不到链表上，而是连到了pCur上// pCur虽然最终指向链表中的某个节点，但是它并不在链表中while(pCur->next)pCur = pCur->next;pCur->next = pNew;}return true;
}// 从哈希表中删除数据，哈希函数为H(key)=key % M
// 如果data不存在，则返回fasle，
// 否则，删除并返回true
bool delete_HashTable(HashTable hashtable,ElemType data)
{// 如果没查找到，返回falseif(!search_HashTable(hashtable,data))return false;// 否则，删除数据pNode pCur = hashtable[data%M].first;pNode pPre = pCur;  // 被删节点的前一个节点,初始值与pCur相同if(pCur->data == data)  // 被删节点是链表的第一个节点的情况hashtable[data%M].first = pCur->next;else{   // 被删节点不是第一个节点的情况while(pCur && pCur->data != data){pPre = pCur;pCur = pCur->next;}pPre->next = pCur->next;}free(pCur);pCur = 0;return true;
}// 销毁槽数为n的哈希表
void destroy_HashTable(HashTable hashtable,int n)
{int i;// 先逐个链表释放for(i=0;i<n;i++){pNode pCur = hashtable[i].first;pNode pDel = NULL;while(pCur){pDel = pCur;pCur = pCur->next;free(pDel);pDel = 0;}}// 最后释放哈希表free(hashtable);hashtable = 0;
}

最后测试代码：

#include<stdio.h>
#include "data_structure.h"int main()
{int len = 15;   // 哈希表长，亦即表中槽的数目printf("We set the length of hashtable %d\n",len);//创建哈希表并插入数据HashTable hashtable = create_HashTable(len);if(insert_HashTable(hashtable,1))printf("insert 1 success\n");else printf("insert 1 fail,it is already existed in the hashtable\n");if(insert_HashTable(hashtable,8))printf("insert 8 success\n");else printf("insert 8 fail,it is already existed in the hashtable\n");if(insert_HashTable(hashtable,3))printf("insert 3 success\n");else printf("insert 3 fail,it is already existed in the hashtable\n");if(insert_HashTable(hashtable,10))printf("insert 10 success\n");else printf("insert 10 fail,it is already existed in the hashtable\n");if(insert_HashTable(hashtable,8))printf("insert 8 success\n");else printf("insert 8 fail,it is already existed in the hashtable\n");//查找数据pNode pFind1 = search_HashTable(hashtable,10);if(pFind1)printf("find %d in the hashtable\n",pFind1->data);      else printf("not find 10 in the hashtable\n");pNode pFind2 = search_HashTable(hashtable,4);if(pFind2)printf("find %d in the hashtable\n",pFind2->data);      else printf("not find 4 in the hashtable\n");//删除数据if(delete_HashTable(hashtable,1))printf("delete 1 success\n");else printf("delete 1 fail");pNode pFind3 = search_HashTable(hashtable,1);if(pFind3)printf("find %d in the hashtable\n",pFind3->data);      else printf("not find 1 in the hashtable,it has been deleted\n");// 销毁哈希表destroy_HashTable(hashtable,len);return 0;
}

七、参考资料

《算法导论》第三版（美）科曼（Cormen,T.H.）等著，殷建平等译
http://blog.csdn.net/ns_code

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