反演问题是指由结果及某些一般原理(或模型)出发去确定表征问题特征的参数(或模型参数)。在工程应用中，反演问题广泛出现在地球物理、生物、医疗及建筑等领域。反演问题相对于正演问题而存在，其一般的工作程序为数据-正演模型-模型参数的估算值。因此，正演计算模型是反演问题的基础。只有得到了正演问题的数值解，才能考虑去求解反演问题[1]

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中文名

反演问题

外文名

inverse problem所属学科

在各个科学应用广泛

相关概念

正演问题、反问题等

反演问题基本介绍

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反演问题是指由结果及某些一般原理(或模型)出发去确定表征问题特征的参数(或模型参数)。在工程应用中，反演问题广泛出现在地球物理、生物、医疗及建筑等领域。反演问题相对于正演问题而存在，其一般的工作程序为数据-正演模型-模型参数的估算值。因此，正演计算模型是反演问题的基础。只有得到了正演问题的数值解，才能考虑去求解反演问题[1]

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反演问题反演问题研究现状和进展

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国外关于反演问题理论和方法的研究起步较早，最早期的工作可以追溯到20世纪20年代Hadamard在研究线性偏微分方程的Cauchy问题时对反演问题不适定性的陈述和研究．20世纪40年代前苏联院士Tikhonov率领他的工作小组开始了反问题的理论研究，终于在60年代推出了至今仍然广泛沿用的Tikhonov变分正则化方法，并于70年代出版了反演理论的经典专著《Solutions of Ill-posed Problems》(Tikhonov et a1.，1977；中译本《不适定问题的解法》(王秉忱译，陈恕行校)，地质出版社，1979)．关于反演理论和方法研究的另一个方向是迭代正则化方法，该领域的典型代表是Landweber和Fridman(Landweber，1951；Fridman，1956)．以Nashed为代表的广义逆方法是求解反演问题的又一类重要的方法，分为内逆法和外逆法(Nashed，1976)．把不适定问题的正则化放在抽象的泛函空间的完整描述是Morozov的《Methods for Solving IncorrectlyPosed Problems》(Morozov，1984)和Groetsch的《The Theory of Tikhonov Regularization forFredholm Equations of the First Kind》(Groetsch，1984)．近年来发展起来的方法有梯度型方法和Newton型方法等等(Frommer et a1．1999；Kaltenbacher，1997&1998)．

我们国家的研究工作者在反演问题的理论和方法研究方面也进行了大量的探索，最早可追溯到20世纪80年代初由中国科学院院士冯康先生倡导的反演问题的研究(冯康，1985)．随后，有关反演理论和方法在相关的领域也如火如荼地展开了．如文[166]对地球物理中的反问题的系统理论论述；文[328]对波动方程反演问题的理论和算法的系统研究；文[105]从控制和脉冲谱角度对反演问题的论述等等，特别是大量科研人员投入精力对反演问题的正则化理论进行研究和扩展，以及从最优化角度对反演理论和方法的研究[27，31，56，91，92，93，96，151，274，277，278，279，294，305，314，315，100，121，120，118，119，140，63，64，30，312，311]等等．

国内外关于反问题的典型的出版物有[250，252，253，77，78，55，90，138，185，267，309，206，190，164，111，159，243，166，105]等．总的说来，国内外关于反演问题的基本理论研究仍然是以Tikhonov院士为代表的学者于20世纪70年代创立的正则化理论为框架展开的．值得指出的是大部分优化的方法，在适当的条件下，可以看作是一种正则化方法[275]．

反演理论和方法的基础性研究固然重要，但如何把发展了的反演问题的理论和方法应用到数学物理、地质与地球物理和大气科学等实际问题上，仍然是十分值得关注和研究的课题．近年来，有关这方面的应用研究也呈现出越来越火爆的趋势．如对于遥感和地学中地表参数反演的核驱动模型，发展起来的方法有基于Bayes统计理论的带先验估计的最小二乘方法，QR方法、NTSVD方法、内点法等(Pokrovsky et a1．，2002；Li et a1．，2001；Wang et a1．，2005)；对于地球物理反演中震波图的最优正则化方法(Sen et a1.，2002；Roy，2005)，对于大气气溶胶粒度谱反演有Philips-Twomey-King方法(Phillips，1962；Twomey，1975；King，1978)和Chahline方法(Chahine，1970)等；对于图像复原有基于FFT的Tikhonov正则化方法及其各种扩展(Vogel，2002)；对于PDE参数识别问题有Newton-伴随方法(Banks et a1.，1989)、Tikhonov正则化方法(Vogel，2002)、信赖域方法(Wang et a1.，2003)；对于数值天气预报发展起来的四维变分同化(4D-Var)(丑纪范，1995)和天-地-气-海洋遥感数据四维变分同化(4D-Var)(Liang，2004)等等．这些领域的研究远远没有成熟，值得广大的科研工作者共同去完成．[2]

反演问题反演问题及解算概论

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解反问题的理论与方法在涉及观测与演绎的各个科学技术领域都有应用。最为复杂和困难的反问题来自地球物理领域，一方面是因为观测数据不完备且含噪，另一方面是对问题的分析常常涉及复杂的源和介质分布情况，并且常常对介质的属性与结构特点以及观测数据的响应范围都不是充分的了解。这些因素导致反问题的解答常常是非唯一的，因此在地球物理领域的反问题研究中，不仅要讨论各种解算方法，还要研究提高解的唯一性的方法。

在不同的科学技术领域，反问题的提法是不同的。反问题(inverse problem)是数学和和物理领域的称法，在地球物理领域常称为反演(inversion)，从纯数学的观点来看，反问题和反演的解法没有什么不同，但从物理和逻辑的观点来看，还是有许多不同，地球物理反演所采用的一些方法甚至是不合“逻辑”的，如波的逆源传播在物理上是不可能的，先假定一个模型然后对其求解的方法在逻辑上也是站不住脚的。凡此种种既有认识上的问题，也有客观困难所导致的不得已而为之的问题。作为唯物主义者，自应遵循“实践是检验真理的唯一标准”。凡实践检验是行之有效的方法，无论是否与现有理论观点相吻合，都可以采用。

涉及观测与演绎的各个学科都研究反演问题，但在不同的学科领域对其认识角度是不同。从数学的观点来看，反演是在给定的子空间内寻找与函数空间中一点最靠近的点；从统计学的观点来看，反演是参数估计；从信息论的观点来看，反演是滤波或过程鉴别问题；而从人工智能的观点来看，它又是模式识别问题等等。尽管提法或术语各不相同，但其实质都是一样的，即从观测数据反演计算出目标参数或其分布。

反演问题研究的出发点是描述物理过程或现象的数理方程，主要是描述波场传播的运动方程与描述场分布的场方程。地球物理学家与物理学家对待运动方程或场方程的态度有所不同，物理学家通过对物理过程的演变或物理现象的观测建立或验证运动方程或场方程，而地球物理学家视运动方程或场方程为真理，用它们来解释观测数据，准确的说是根据观测数据确定运动方程或场方程的系数项或源项或同时确定二者。

50年代以前，也就是电子计算机发明以前，反演研究的主要内容是求取表征地球物理模型的运动或场方程的解析解，最辉煌的成果是地球圈层结构的建立。50年代以后，反问题研究大量采用以计算机技术为基础的数值方法，尤其是70年代CT技术的创立和发展将反问题研究推进到了一个全新的阶段。层析成像理论方法的诞生不仅产生了无损检测技术(医学CT、工业CT)，而且极大的推动了地球物理反演研究的现代化和对地球内部精细结构探测的进程。不可见目标体内部参数数值成像仍将是未来10-15年内极富创新机遇的科学研究热点领域。

解反问题的古典方法，也是最基本的方法，是最小二乘法。近30年来，反问题研究中大量引用了线性及非线性规划、广义逆理论、最优化方法、信息论以及非线性理论等方面的最新研究成果和技术，使反问题的研究与反问题的解算方法发展到了一个新的阶段。现代地球物理线性反演理论的基础是由Backus和Gilbert在1976-1970年之间所发表的一系列重要文章所奠定的，所提出的一套反演理论被称之为Backus—Gilbert理论或B—G理论。B—G理论是关于连续函数表征的地球内部物理参数的反演计算理论与方法，核心是关于有限和不精确数据反问题解的非唯一性理论及解估计评价准则与方法。1972年，Wiggins阵将B-G理论表达为离散形式，同年，Jackson用广义逆理论详细讨论了线性反问题在这种情况下的解答。这是目前广泛采用的，也是最重要的两种线性反演问题解算方法。对于非线性反问题，传统上是将其转化为线性反问题或线性反问题序列进行求解。随着非线性反问题理论的发展，已有趋势倾向于直接求解反问题，常用的方法有蒙特卡罗法，模拟退化法等，这些方法都可以概括为最优化方法。

反问题解的非唯一性绝大多数是由于数据和知识的缺陷所引起的，而非反演方法或技巧上的问题。解决这一问题的主要途径是对解过程及解施加约束，即利用各种已知资料(又称先验信息)对解参量取值范围进行限制，因此，可将一般的反问题概括为约束最优化问题[3]

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参考资料

1.

王长龙，陈自力，马晓琳．漏磁检测的缺陷可视化技术=VISUALIZATION TECHNOLOGY OF DEFECT IN MAGNETIC FLUX LEAKAGE TESTING：国防工业出版社，2014.02

2.

王彦飞．反演问题的计算方法及其应用：高等教育出版社，2007.1

3.

曹俊兴．非均匀介质电磁成像：四川科学技术出版社，2000.03