本发明属于测试技术领域，具体涉及一种基于改进K-K算法的超材料电磁参数的反演方法。

背景技术：

超材料是一种新型的人工材料，对电磁波具有独特的物理特性，比如负折射率、负电磁参数等，这些独特的物理特性使超材料在各个领域有着十分巨大的应用价值，如太赫兹成像、隐身材料、天线设计等。但超材料在工业应用前，往往要知道其对应的电磁参数，介电常数与磁导率等。因此，对于已设计完成的超材料，快速而准确地计算出其对应的电磁参数成为关键。

超材料电磁参数反演研究意义重大。目前测试超材料的电磁参数测中往往采用矢量网络分析仪，采用矢量网络分析仪得出矢量网络分析仪两端口的S参数，再对S参数进行反演迭代，进而求得超材料对应的介电常数与磁导率。在求解过程中，因为复数的多值性，往往使计算结果存在多个值的问题，在多个求解值中，仅有一个值是准确的，而要准确的从多值结果中筛选出准确的值，往往是不易的。

下面介绍一种超材料电磁参数反演的方法。

如图展示的采用自由空间法测试平板超材料的电磁参数。电磁波在介质材料的一面发生多次反射和透射，总的反射电压VR和总的投射电压VT与入射电压VI之比分别称为反射参数S11和传输参数S21，如过入射电压为1，则反射电压和投射电压分别表示反射参数和传输参数，如图1所示，设空气与介质材料边界面A的反射系数为Γ，介质材料与空气边界面B的反射系数为-Γ，介质材料的厚度设为d，介质中电磁波的传输系数为T，则由图1可以推得反射电压。

由(1)式得：

令可得

由等效二端口理论可得

T＝exp(-rd) (6)；

其中，

从而可得：

因此只要知道介质材料端面的S参数，通过S参数可以求得反射系数与传输系数，进而可以求得介质材料的电磁参数εr和μr。

由传输系数T＝exp(-rd)可得

复数求对数具有多值性，r的实部是准确的，但是虚部随着n的变化会成周期性的变化，因此r会有多个值，因r的多值性，从而导致μr、εr也会存在多个值，这也是在反演超材料电磁参数的过程中会产生多个值的原因。为了解决这一多值性问题，目前常常采用群延迟法以及虚部补偿法。在这里介绍虚部补偿法：由式(11)可知，传播常数r的虚部与测试频率之间应该是线性的关系且为增，如图2虚线所示传播常数r的虚部随频率的增大而呈现周期性变化，因此可以采用线性增函数原理进行虚部补偿，补偿之后的传播常数r的虚部与测试频率的关系如图2实线所示。

虚部补偿法确定n的办法：

(1)初始测试频率应尽可能低，以确保n＝0；初始频率的确定式为：

(2)当测试频率升高时fm＜fm+1若有imag(r(fm+1))＜imag(r(fm))，则传播常数r的虚部发生了周期性变化，因此，频率fm+1所对应的n值应该加1即(n＝n+1)，测量频率采用扫频的方式，使得传播常数的虚部在π的范围内变化。

目前国内外在超材料电磁参数测试中对反演结果的多值性处理主要采用以下几种方法：

一是采用群延迟办法：该方法的理论依据是电磁波经过样品的时延是样品的厚度函数，通过比较n取不同数值时计算出的时延与测量得到的时延，从而确定出正确的n值：

首先分别计算了n取一系列值时的εr，继而由得出每个点的群时延，其中，τgm是令n＝m时得出的εr的解。由测量直接得出的群时延由传输系数T的相位与频率之间的斜率来决定正确的n值，即n＝k时τgk-τg≈0。从而求出介电常数，同样的办法求得磁导率。

二是采用虚部补偿法：如上文所述。

传统超材料电磁参数反演中存在的计算速度慢，需要进行大量的数据处理，以及虚部补偿法需对测试频率点的n值按照的关系进行估算等问题。

技术实现要素：

针对现有技术中存在的上述技术问题，本发明提出了一种基于改进K-K算法的超材料电磁参数的反演方法，设计合理，克服了现有技术的不足，具有良好的效果。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于改进K-K算法的超材料电磁参数的反演方法，具体包括如下步骤：

步骤1：通过传统自由空间法对矢量网络分析仪进行校准；

步骤2：用矢量网络分析仪获取样品材料的反射参数S11和传输参数S21两个S参数；

步骤3：求解电磁波在样品材料中的传播常数γ，具体方法为：

其中，Γ为反射系数，T为传输系数；

由(1)式得：

其中，S11为反射参数，

其中，S21为传输参数，

令结合式(2)、式(3)，可得：

其中Γ＜1，由公式(4)可以求出公式(5)：

由等效二端口理论，可得：

T＝exp(-γd) (7)；

其中，ηr为样品材料的归一化特性阻抗，γ为波在样品材料中的传播常数，d为样品厚度；

同时由于测试时电磁波采用准TEM模的模式，所以样品材料归一化特性阻抗ηr以及传播常数γ与介电常数εr和磁导率μr之间应满足以下关系：

其中，γ0为波在空气中的传播常数；

由(6)、(7)式得：

通过(8)、(9)、(10)可以推得：

由以上推导过程可以看出，在求样品材料的介电常数εr与磁导率μr时，需要先求出波在样品中的传播常数γ以及反射系数Γ，Γ可以由式(4)唯一确定，而由式(11)可知，在γ的求解过程中，因复数的多值性(虚部有2π的周期性变化)，使得γ存在多个解：

因此求解样品材料的介电常数εr与磁导率μr时，因γ的多值性，使得介电常数εr与磁导率μr也存在多个值，因此在求解介电常数εr与磁导率μr之前，要先对传播常数γ去多值处理。

采用基于改进的K-K关系对波在样品中的传播常数γ去多值，具体包括如下步骤：

步骤3.1：建立K-K关系的数学模型：

对于一个线性无源响应函数α(ω)＝α'(ω)-jα”(ω)，已知其虚部所有入射频率的值，可以求得其实部，如式(14)所示；同理，已知其实部所有入射频率的值，可以求得其虚部，如式(15)所示：

式中α(s)、α(ω)分别为复变量s、ω的响应函数；s为哑变量；ω为圆频率；α'为响应函数的实部，α”为响应函数的虚部；对于积分式(15)和(16)，s＝ω为其奇点，故积分取主值，表示为P，P满足：

步骤3.2：对波在样品中的传播常数γ去多值：

设传播常数γ(ω)＝α(ω)+jβ(ω)；由K-K关系的数学模型，传播常数的虚部β(ω)和实部α(ω)可以建立如下的关系式：

根据式(14)可求得传播常数γ的实部是唯一确定的，其中T(ω)由式(5)唯一求出，结合式(17)便可求出传播常数的虚部：

即传播常数且唯一确定。

步骤4：求解介电常数εr与磁导率μr：

由步骤2中样品材料两端口的S参数，通过(4)式计算出样品材料的反射系数Γ，再将式(18)求得的传播常数γ带入式(12)、(13)中，从而便可准确的得出样品材料的介电常数μr与磁导率εr。

本发明所带来的有益技术效果：

本发明相对于群延迟法、虚部补偿法解决超材料电磁参数反演过程中的多值性问题，不需要对测试起始频率点的n值进行估算，且不需要进行繁琐的数据处理，测试精度高。

附图说明

图1为样品材料对电磁波的传输与反射示意图。

图2为γ的虚部与频率之间的关系示意图。

图3为本发明方法的流程框图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

基于改进K-K算法的超材料电磁参数反演方法技术原理：

本发明主要分为四个步骤：

第一步：通过传统自由空间法对矢量网络分析仪进行校准；

第二步：用矢量网络分析仪获取样品材料(特指超材料)的两端口的S参数；

第三步，基于改进的K-K关系对波在样品中的传播常数γ去多值。

(1)K-K关系的数学模型：对于一个线性无源响应函数，已知其虚部所有入射频率的值，就可以求其实部，同理，知道实部就可以求其虚部。

式中α(s)、α(ω)分别为复变量s、ω的响应函数；s为哑变量、ω为圆频率；α'为响应函数的实部，α”为响应函数的虚部。对于积分式(15)和(16)，s＝ω为其奇点，故积分主值，表示为P，

设传播常数γ(ω)＝α(ω)+jβ(ω)；其中α(ω)为衰减常数、β(ω)为相移常数，它们分别代表传播常数的实部、虚部；

由K-K关系的数学模型，传播常数的虚部β(ω)和实部α(ω)可以建立如下的关系式：

根据求得的传播常数γ的实部是唯一确定的，其中T(ω)由式(5)唯一求出，结合式(17)便可求出传播常数的虚部：

即传播常数且唯一确定。

第四步，反演出样品材料的介电常数εr以及磁导率μr。

由步骤1中样品材料两端口的反射参数S11和传输参数S21两个S参数，通过(4)式计算出样品材料的反射系数Γ，再将式(18)求得的传播常数γ带入式(12)、(13)中，从而便可准确的得出样品材料的介电常数μr与磁导率εr。

当然，上述说明并非是对本发明的限制，本发明也并不仅限于上述举例，本技术领域的技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换，也应属于本发明的保护范围。