一、实验目的

1.了解求线性方程组的直接法的有关理论和方法；会编制列主元消去法的程序；
2. 熟悉迭代法的有关理论和方法；会编制雅可比迭代法；
3. 掌握所用迭代方法的收敛性及其收敛速度问题。

二、实验题目

2.对于第1题的弹道轨迹抛物线方程，根据已知的三个弹道轨迹经过点（1，6）、（3，5）、（7，2）建立的线性方程组，采用迭代法求解，得到此弹道轨迹抛物线方程。
采用雅可比迭代法求其近似解，并画出解随着迭代次数变化的趋势线（允许的最大迭代次数N，近似解

三、实验原理

1、高斯列主元消去法的精度eps，由用户设定）。（50分）

四、实验内容与结果

实验题目1 (列主元高斯消元法)

1. 程序源码

function [augmentedMatrix,ans] = ColMain(A,b)
%COLMAIN 此处显示有关此函数的摘要
%   此处显示详细说明%常量定义
ZERO = 10^(-15);%增广矩阵
augmentedMatrix = [A b];[row_a,col_a] = size(A);
[row_b,col_b] = size(b);%解
ans = zeros(col_a,1);%先判断A是不是方阵
if row_a ~=col_asprintf('矩阵A不是方阵')return;
end%判断b是否符合要求
if row_b ~= row_asprintf('b的格式为列向量且b的行数和A的行数要相同')return;
end%判断b的行和A的行是否一致
if row_a ~= row_bsprintf('向量b长度必须和矩阵A的行数相等')return;
end%进行消元
for col = 1:col_a-1%找每一列的最大值maxCol = max(abs(augmentedMatrix(col:row_a,col)));%判断A是否为系数矩阵if maxCol < ZEROsprintf('系数矩阵A是奇异矩阵!程序退出!')return;end%进行交换for row = col:col_aif maxCol == ((augmentedMatrix(row,col)))temp = augmentedMatrix(row,:);augmentedMatrix(row,:) = augmentedMatrix(col,:);augmentedMatrix(col,:) = temp;break;endend%执行消元操作for row = col+1:col_a%计算mijmRowCol = (augmentedMatrix(row,col)/augmentedMatrix(col,col));%消元augmentedMatrix(row,:) = augmentedMatrix(row,:)-mRowCol*augmentedMatrix(col,:);end
end%将每个解的系数变为1，就相当于是最后除去系数了
for row = 1:row_aaugmentedMatrix(row,:) = augmentedMatrix(row,:)/augmentedMatrix(row,row);
end%消元后的b
b = augmentedMatrix(:,col_a+1);%回带求解
ans(col_a) = b(col_a);
for row = col_a - 1:-1:1ans(row) = 0;for col = row+1:col_aans(row) = ans(row) + augmentedMatrix(row,col)*ans(col);endans(row) = b(row) - ans(row);
endx = 0:0.1:9;
y = ans(1)+ans(2).*x+ans(3).*x.*x;
plot(x,y);
end

2. 计算结果与分析

结果：

分析：
在进行计算的时候，每次进行消元操作之前都进行了选列主元和交换位置的操作。有效避免了直接高斯消元法存在的主对角线上元素可能为0，导致消元无法继续进行的问题。同时也减小了了因为除数较小导致计算结果受运算过程中的舍入误差较大的影响，提高了算法的稳定性。

实验题目2

采用雅可比迭代法求其近似解，并画出解随着迭代次数变化的趋势线（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。

1. 程序源码

function [X,COUNT,ERRORCODE] = Jacobi(A,b,X0, MAXCOUNT)
%JACOBI 此处显示有关此函数的摘要
%   此处显示详细说明%常量定义
%精度
PRECISSION = 10^(-6);%每次迭代的x_0，x_1，x_2，用于画图
x_0 = zeros(1,MAXCOUNT);
x_1 = zeros(1,MAXCOUNT);
x_2 = zeros(1,MAXCOUNT);%统计迭代次数
COUNT = 0;%错误返回值
ERRORCODE = -1; %表示没有错误%计算A和b的行和列
[row_A,col_A] = size(A);
[row_b,col_b] = size(b);X = zeros(col_A,1); %用来存最后的解向量
%temp = zeros(col_A,1);%判断A是否为方阵
if row_A ~= col_AERRORCODE = 0;sprintf('矩阵A不是方阵！')return;
end%判断b是否符合要求
if row_b ~= row_AERRORCODE = 1;sprintf('b的格式为列向量且b的行数和A的行数要相同')return;
endwhile 1for row = 1:row_AX(row) = 0;for col = 1:col_Aif row ~= colX(row) = X(row) + A(row,col) * X0(col);endendX(row) = (b(row) - X(row))/A(row,row);end%计算两次迭代的误差error = max(abs(X - X0));if error <= PRECISSIONbreak;end%更新x0X0 = X;%更新迭代次数COUNT = COUNT + 1;%记录每次迭代的结果x_0(COUNT) = X0(1);x_1(COUNT) = X0(2);x_2(COUNT) = X0(3);%迭代次数不够，不能收敛if COUNT >= MAXCOUNTERRORCODE = 2;sprintf('Jacobian迭代法不收敛!或者迭代次数不够!')break;end
endplot(x_0(1:COUNT),'red+'); %将解向量第1个分量的每次迭代结果画在图上，横坐标是迭代次数，纵坐标是每次迭代的结果
hold on;
plot(x_1(1:COUNT),'red.');
hold on;
plot(x_2(1:COUNT),'blueo');
hold on;
legend('x_0','x_1','x_2');
X = X0;
end

2.计算结果与分析
结果：

分析：
从最终的迭代次数可以看出，在指定最大迭代次数的时候，应该指定一个稍微大一点的数，因为如果指定的最大迭代次数小于收敛所需的迭代次数的时候，会导致还没等到结果收敛，程序就停止了。
另外，从最终的迭代次数可以看出，Jacobi迭代的收敛速度是比较慢的，需要迭代的次数较多。

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数值分析实验二解线性方程组

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