距离21考研只有十天了，剩下的时间就是反复练习真题，近两年的真题可以先做，因为这样既可以了解最新的考点及考试形式，且近两年的真题在今年再次出现题型基本一致的可能性不大(必考考点另当别论)，所以建议可以先做。

如果时间比较紧张，建议重点关注近十年管一和管二的真题及课后习题以及教材上的例题。

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运筹学知识点的整理：

PART-1

十、线性规划问题的几何意义及解的状态分析

(1)凸集：设有任意两点X(1)、X(2)在某个点集中，其中X(1)≠X(2)，如果连接这两点的线段上所有的点也在这个点集之中，则称这个点集为凸集。

凸集定义的另外一种表示形式是：设K是n维欧氏空间的一个点集，若任意两点X(1)∈K、X(2)∈K的连线上一切点X(1) +(1-α)X(2)∈K(0≤α≤1)，则称K为凸集。

不符合上述特征的点集不是凸集，称为凹集。

(2)极点或顶点：设K是一个凸集，再令X∈K，如果X不能用不同的两点X(1)∈K、X(2)∈K的线性组合X=X(1) +(1-α)X(2)∈K(0≤α≤1)表示，则称点X是K的一个极点或顶点，其直观意义就是X不是K中任何线段的内点。

(3) 基本解和基本可行解：在线性规划问题约束条件方程中，由与约束条件个数相等的若干个系数列向量组成的满秩矩阵叫基本矩阵。一个有n个变量m个约束(m≤n)的线性规划问题至多可以有Cnm个基本矩阵。

所谓满秩矩阵，就是给这个矩阵作行线性变换不会出现某一行元素全为零的情况(与方程组有关的线性变换不考虑列变换)；

所谓矩阵的行线性变换就是给矩阵的某一行元素同乘以一个非零常数或给矩阵的某一行同乘以非零常数后再加到另一行，过程与我们中学学过的解方程组的消元法完全一致。

令不与基本矩阵中列向量对应的变量(这些变量就叫非基变量 )为零后，约束方程中剩余的与基本矩阵对应的变量就可唯一求得(这些变量就叫基变量)，求得的这个解就叫基本解。简单的说，就是“通过基本矩阵求得的线性规划问题的解”。

PART-2

十一、基本定理

定理2.1 约束条件AX=b，X≥0的线性规划问题的可行解集合是凸集。

定理2.2 线性规划问题的可行解X是基本可行解的充要条件是，X的非零分量所对应的系数列向量线性无关。

定理2.3 线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D的极点。

定理2.4 线性规划问题若有可行解必有基本可行解，换句话说，线性规划问题的可行域 D如为非空凸集，则必有极点。

定理2.5 线性规划问题若有最优解，则一定可在可行域D的极点上达到。

PART-3

十二、单纯形法的基本思路

(1)求出线性规划模型的初始基本可行解X(0)，利用初始基本可行解X(0)及线性规划模型提供的信息，编制初始的单纯形表。

(2)判断X(0)是否使目标函数达到最优，即X(0)是否为最优解。

(3)若X(0)是最优解，计算停止；若X(0)不是最优解，就将一个非基变量换入，将一个基变量换出，也就是说，将一个非基变量变成基变量，将一个基变量变成非基变量，从而产生另外一个使目标函数更优的基本可行解X(1)，然后生成另外一张单纯形表，再返回第(2)步。这个过程称为迭代过程，如此逐步迭代，如果线性规划模型有最优解，那么经过有限次迭代后就会求出最优解。

PART-4

十三、单纯形法的求解步骤

第一步：基于约束条件方程组的系数矩阵，通过寻找或构造单位矩阵的方法，确定基变量，从而求出初始基本可行解，再利用初始基本可行解及线性规划模型提供的信息，编制初始单纯形表。

第二步：将检验数cj-zj作为判断基本可行解是否为最优解的标准，判断的方法如下：

(1)若所有非基变量的检验数cj-zj<0，已经达到最优解，计算停止。

(2)若存在cj-zj>0，但所有cj-zj>0所在列对应的所有aij≤0，无最优解，计算停止。

(3)若至少存在一个cj-zj>0，并且所对应的所有j列中至少有一个aij>0，没有达到最优解，转到第三步。

第三步：继续迭代，求解下一个使目标函数更优的基本可行解，迭代过程如下：

(1)确定换入变量：原则上选择最大检验数对应的非基变量作为换入变量。

(2)利用下式求出xj*所在的第i行所对应的基变量作为换出变量：

(3)换入变量和换出变量确定后，生成另外一张单纯形表，即将单纯形表的换入变量和换出变量进行置换以后，把cB列相应的目标函数系数变更，再对bi和aij的值进行初等变换，即进行行运算，从而将新基变量对应的矩阵调整为单位矩阵。

(4)重新计算机会费用zj和检验数cj-zj的值，返回第二步。

PART-6

十四、单纯形法的进一步使用

一、 目标函数值最小的问题(min型)

有三种处理方式，可以选择任何一种：

(1)在第2.1.3节中介绍过，将求目标函数值最小的问题转化为求目标函数值最大问题。如果目标函数是min z =∑cjxj的形式，可令z=-z′，这样就将目标函数转化为max z′ =-∑cjxj，然后用单纯形法求解即可。

(2)保持目标函数的min型不变，通过检验数的判断来处理。最优解的判断方法和max型的相反，即全部检验数cj-zj≥0时就达到最优，否则继续迭代；另外，换入变量的确定方法是选取检验数最小的非基变量作为换入变量，确定换出变量的方法与max型的方法一样。

(3)将单纯形表中检验数的形式改变。即将单纯形表中的检验数cj-zj改写为zj-cj的形式，最优解的判断方法、换入变量的确定和换出变量的确定与max型的方法相同。

二 约束条件方程为“≥”型

将“≥”型的约束条件方程左边减去多余变量即可转化为“=”型的约束条件方程。

同时知道，确定初始基本可行解的方法是将单位矩阵所对应的变量作为基变量，但多余变量的系数是-1，不能构成单位矩阵，即不能将多余变量作为初始基变量。如果在变化后的约束条件方程组的矩阵中寻找不到单位矩阵，解决的方法就是：

通过人为构造变量来生成单位矩阵，把人为构造的变量称为人工变量。为了不使人工变量对目标函数值产生影响，在求目标函数最大或最小的问题中，人工变量的cj值分别设为充分小或充分大的数即-M或M，这样，人工变量进入最优解的可能性很小。

对偶单纯形法

三 两阶段法求解思路

(1)第一阶段：构造新目标函数代替实际目标函数，用单纯形法求解。

若目标函数是max型，设人工变量的目标函数系数cj=-1，其余变量的目标函数系数cj=0；

若目标函数是min型，设人工变量的目标函数系数cj=1，其余变量的目标函数系数cj=0；(计算出来无最优解：cj-zj>0,aij<0)

(2)第二阶段：恢复原来的目标函数，继续用单纯形法求解。

恢复原来目标函数的步骤是：

A、将第一阶段最优单纯形表中人工变量的列去掉；

B、恢复原来的目标函数的系数；

C、重新计算检验数，并继续用单纯形法求解。

四 约束条件方程为“=”型

有两种处理方式，可以选择任何一种：

(1)在约束条件方程中加入人工变量，使系数矩阵能构成一个单位矩阵，再用大M法或两阶段法求解。

(2)将等式变为两个非等式，如x1+2x2=10可以用x1+2x2≤10和x1+2x2≥10两个不等式来代替，这样变化后，可以在这两个方程中分别加进松弛变量、减去多余变量或者加入人工变量，再按照前面的方法求解即可。

PART-6

十五、单纯形法的扩展应用 (增加决策变量)

求解的主要步骤如下：

第一步：用IB表示初始单纯·形表中初始基变量所对应的单位矩阵，再用IB*表示初始基变量在最优单纯形表中所对应的矩阵，基于线性规划模型的典式，可知IB*=B-1×IB，因为IB为单位矩阵，所以有B-1=IB*，用xn+1表示新增加的决策变量，那么它在初始单纯形表中对应的列向量是已知的，用Pn+1表示，再用Pn+1*表示新增加的决策变量在最优单纯形表中应该对应的矩阵，则有Pn+1*=B-1×Pn+1=IB*×Pn+1。

第二步：把列向量Pn+1*补加到最优单纯形表最右列，继续求解即可。

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