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4f系统实现边缘提取

基于傅里叶光学中的4f系统（所有系统参数自定），实现光学图像的边缘提取。研究：1）理论推导出边缘提取算子尺寸与空间复滤波器间空间分布的关系，可利用严格的公式进行推导；2）给出空间复滤波器的振幅和位相分布；3）找一些图片，验证滤波器在边缘提取的效果。

第一部分边缘提取算子对应空间复滤波器的理论推导

假设算子对应的矩阵为

，要变换到N×N的屏幕上，则算子的(1,1)点处在屏幕的

位置，则采用离散傅里叶变换：

其中

。X即为空间复滤波器的矩阵求和范围缩小至算子所在的

区域，则：

其中

。

第二部分空间复滤波器的振幅和位相分布

本次程序采用的是Laplace算子。写成差分形式为：

写成算符的形式为：

做FFT,并将FFT得到的H矩阵设置为与屏幕一样大的N×N，文件夹中USTC.jpg的宽度为N=700，用到的函数为fftshift(fft2(A,N,N))，运行得到H的振幅和位相分布：

在一些文献中，也用拉普拉斯算子的另一种形式：

其傅里叶变换后得到的振幅和位相如下：

第三部分程序简介

下图是传播的光路

为待处理的图像g(x1,y1)。用RSDiff.m函数模拟衍射传播f后，至L2前入射面。得到U1。经过透镜相当于乘相位

。之后传播f至P2面，P2面为g的频谱G(u,v)。与第二部分中得到的H相乘得到G(u,v)H(u,v)。再经过两段f和一个透镜，相当于傅里叶变换，得到g(x3,y3)=g*h，*代表卷积。

传播至U1的图像：

在透镜后焦平面的成像（即上图的频谱）

与FFT变换后的边缘提取算子相乘，得到：

再经过两段f和一个透镜，得到原图倒立的边缘像：

与下图直接用conv2函数卷积相比：

如果改用第二种形式的Laplace算子矩阵，即：

传播至U1，U2的图像与原来相同，乘新的算子后得到：

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