【2022年高教杯数学建模】C题：古代玻璃制品的成分分析与鉴别方案及代码实现（二）

问题二：

根据附件数据分析高钾玻璃、铅钡玻璃的分类规律；对于每个类别选择合适的化学成分对其进行亚类分析，给出具体的划分方法以及划分结果，并对分类结果的合理性和敏感性进行分析。

1.问题2的分析

题目要求我们探究高钾玻璃和铅钡玻璃的分类规律，并对每个类别进行亚类划分，最后分析模型的合理性和敏感性。

第一步分析：针对高钾玻璃和铅钡玻璃不同化学成分的数值进行统计，找到其具有代表性的化学指标的变化情况作为分类的依据。并针对玻璃种类进行聚类分析，将系统聚类的结果与实际值进行比较，从而判断分类标准划分的合理性。

第二步分析：在此基础上进行亚类划分，观察化学成分在风化前后的变化情况，颜色变化，纹理变化等，并给出相应的分类依据。

2.问题二的建模与求解

题目要求我们根据附件数据分析高钾玻璃以及铅钡玻璃的分类规律，并对于每个类别选取合适的化学成分进行亚类分类，对分类结果的合理性和敏感性进行分析。我们结合附件的表 1 和表 2 ，对高钾玻璃进行聚类，对铅钡玻璃进行聚类，采用层次聚类算法，并可视化聚类效果，统计分析两种玻璃分别在这几种亚类别在成分上的区别。

2.1玻璃种类的系统聚类模型

首先针对玻璃种类进行聚类分析，不划分具体的玻璃类型，仅根据是否风化进行分析，将系统聚类的结果与实际值进行比较，从而判断分类标准划分的合理性。

系统聚类的合并算法通过计算两类数据点间的距离，对最为接近的两类数据点进行组合，并反复迭代这一过程，直到所有的数据点合成一类，并生成聚类谱系图，如下图所示：

算法总结如下表：

我们利用 Python 求出聚类系数与 K 值的关系为：

根据聚合系数折线图可知，当类别数为 4 时，折线的下降趋势趋于缓慢，故可将类别数设定为 4。从图中可以看出，K 值从 2 到 4，畸变程度变化最大，超过 4 以后，畸变程度变化显著降。因此肘部就是 K = 4,故可将类别数设定为 4（当然， K =5 或者 6 也可以解释）。

根据以上计算步骤，带入到 Python 中进行求解，得出系统聚类中不同玻璃类型树状图如下图所示：

根据上图所示的分类结果，结合每一类中文物编号，计算其所属的类别，并与实际是否属于高钾玻璃与铅钡玻璃进行分析，计算分类正确与错误的个数，并将错误数据标红处理，分类结果如下表所示：

由上表可知，高钾玻璃中风化前后的分类正确率为 90%，铅钡玻璃风化前后的分类正确率 74%，说明模型的合理性较好。

2.2基于 PCA 降维后的玻璃种类亚类划分模型的建立

高钾数据经过 PCA 降维后的部分数据为：

我们接下来对高钾玻璃的数据进行 K-means 聚类分析。 K-means 算法是基于划分方法聚类的，原理是先初始化 k 个簇类中心，基于计算样本与中心点的距离归纳各簇类下的所属样本，迭代实现样本与其归属的簇类中心的距离为最小的目标（如下目标函数）：

我们利用 Python 求解后的分类为：

分类结果为：

聚类中心为：

与上面的步骤相同，我们对铅钡玻璃进行聚类分析，取 k=5，分类结果如下图所示：

分类结果为：

铅钡玻璃的聚类中心为：
（下面仅展示部分数据）