SPWM中三次谐波注入幅值的确定

电压利用率是SPWM与SVPWM这两种调制算法的本质区别。SPWM叠加三次谐波后可以提高直流母线电压的利用率，SVPWM等价于SPWM叠加三次谐波。本文尝试确定SPWM算法中所叠加三次谐波的幅值。

开始推导

三相对称正弦相电压表达式如下：
{ua=Umsin⁡ωtub=Umsin⁡(ωt−23π)uc=Umsin⁡(ωt+23π)\begin{cases} u_a=U_m\sin \omega t\\ u_b=U_m\sin \left( \omega t-\frac{2}{3}\pi \right)\\ u_c=U_m\sin \left( \omega t+\frac{2}{3}\pi \right)\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ua=Umsinωtub=Umsin(ωt−32π)uc=Umsin(ωt+32π)
叠加三次谐波后，
{ua=Umsin⁡ωt+Asin⁡3ωtub=Umsin⁡(ωt−23π)+Asin⁡3ωtuc=Umsin⁡(ωt+23π)+Asin⁡3ωt\begin{cases} u_a=U_m\sin \omega t+A\sin 3\omega t\\ u_b=U_m\sin \left( \omega t-\frac{2}{3}\pi \right) +A\sin 3\omega t\\ u_c=U_m\sin \left( \omega t+\frac{2}{3}\pi \right) +A\sin 3\omega t\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ua=Umsinωt+Asin3ωtub=Umsin(ωt−32π)+Asin3ωtuc=Umsin(ωt+32π)+Asin3ωt
将上式转化为单位式，
ν=sin⁡θo+γsin⁡3θo式中γ=AUm\nu =\sin \theta _o+\gamma \sin 3\theta _o \\ \text{式中}\gamma =\frac{A}{U_m} ν=sinθo+γsin3θo式中γ=UmA
上式求导
dνdt=0=cos⁡θo+3γcos⁡3θo\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{dt}}=0=\cos \theta _o+3\gamma \cos 3\theta _o dtdν=0=cosθo+3γcos3θo
cos⁡3θo=(1−4sin⁡2θo)cos⁡θo\cos 3\theta _o =\left( 1-4\sin ^2\theta _o \right) \cos \theta _o cos3θo=(1−4sin2θo)cosθo
带入求导后的式子，可得
sin⁡θo=3γ+112γ\sin \theta _o=\sqrt{\frac{3\gamma +1}{12\gamma}} sinθo=12γ3γ+1
sin⁡3θo=(3−4sin⁡2θo)sin⁡θo\sin 3\theta _o=\left( 3-4\sin ^2\theta _o \right) \sin \theta _o sin3θo=(3−4sin2θo)sinθo
同理，带入可得
sin⁡3θo=6γ−13γ3γ+112γ\sin 3\theta _o =\frac{6\gamma -1}{3\gamma}\sqrt{\frac{3\gamma +1}{12\gamma}} sin3θo=3γ6γ−112γ3γ+1
将获得的结果带入单位式
νmax⁡=sin⁡θo+γsin⁡3θo=6γ+233γ+112γ\nu _{\max}=\sin \theta _o+\gamma \sin 3\theta _o =\frac{6\gamma +2}{3}\sqrt{\frac{3\gamma +1}{12\gamma}} νmax=sinθo+γsin3θo=36γ+212γ3γ+1
对上式求导
dνmax⁡dγ=(2−13γ)3γ+112γ\frac{\mathrm{d}\nu _{\max}}{\mathrm{d}\gamma} =\left( 2-\frac{1}{3\gamma} \right) \sqrt{\frac{3\gamma +1}{12\gamma}} dγdνmax=(2−3γ1)12γ3γ+1
γ=16\gamma =\frac{1}{6} γ=61或

γ=−13(舍去，它使得νmax⁡为零)\gamma =-\frac{1}{3}\left( \text{舍去，它使得}\nu _{\max}\text{为零} \right) γ=−31(舍去，它使得νmax为零)
所以A=16Um\text{所以}A=\frac{1}{6}U_m 所以A=61Um
{ua=Umsin⁡ωt+16Umsin⁡3ωtub=Umsin⁡(ωt−23π)+16Umsin⁡3ωtuc=Umsin⁡(ωt+23π)+16Umsin⁡3ωt\begin{cases} u_a=U_m\sin \omega t+\frac{1}{6}U_m\sin 3\omega t\\ u_b=U_m\sin \left( \omega t-\frac{2}{3}\pi \right) +\frac{1}{6}U_m\sin 3\omega t\\ u_c=U_m\sin \left( \omega t+\frac{2}{3}\pi \right) +\frac{1}{6}U_m\sin 3\omega t\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ua=Umsinωt+61Umsin3ωtub=Umsin(ωt−32π)+61Umsin3ωtuc=Umsin(ωt+32π)+61Umsin3ωt
将相电压修改为余弦函数的形式，最终推导出的数量关系是一致的，但符号是反的。

参考文献
[1] Pulse Width Modulation for Power Converters Principles and Practice, D. Grahame Holmes, Thomas A. Lipo, IEEE Press

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