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对信号进行傅立叶分析，可以将信号描述成一系列余弦(实部)和正弦(虚部)信号之和或者描述成带相位的余弦信号(幅值和相位形式)。作为演示实例，我们对两个正弦波组成的信号进行傅立叶分析，两个正弦波分别如图1、2所示。这两个信号组成的复合波形如图3所示。

图1 正弦波64Hz，单位幅值，0相位

图2 正弦波192Hz，幅值0.25，相位30度

图3 复合波形

如果我们对这个复合信号进行快速傅立叶分析 (FFT)，这个复合波形的FFT结果如图4所示。

图4 64Hz和192Hz信号的FFT结果

从图4中可以直观地看到，在幅频曲线中有两个明显的峰值，相位曲线中相位有两处改变明显，这两个位置对应的频率分别为64Hz和192Hz。

FFT分析得到的信号幅值刚好为原始正弦波幅值的一半。64Hz的正弦波的幅值为1，但FFT显示为0.5；192Hz的正弦波的幅值为0.5，而FFT显示为0.125，这是为什么呢？其实，这是因为当我们对信号进行频谱分析时，一些能量用正频率表示，一半能量用负频率表示。对于一个实数的时域信号而言，与之相对的是复数的时域信号，那么能量会被划分为等量的两份，我们刚好得到了其中的一半。为了克服这一点，一些软件会将信号的幅值加倍，这也就是所谓的半谱分布，其兼顾全范围的幅值。

现在让我们来考虑相位部分。原始的64Hz正弦信号的相位为0，192Hz正弦波的相位为30度。从64Hz的相频曲线中可以看出相位从0突变到-90度，这是为什么？这是因为傅立叶变换分析使用余弦和正弦函数，实际是用余弦，不是正弦。因此，正弦波形相位移动-90度为余弦，这也就是我们在相频曲线中所看到的。在192Hz处，相位不是30度，而是-60度。这是完全正确的，因为我们有 (-90+30)=-60度。

上述的例子中的信号采样率为1024，用512个数据点表示，因而，我们有0.5s的数据。因此，当我们用FFT进行傅立叶分析时，频谱图中的频率间隔为2Hz。这是一个基本关系：如果FFT分析的数据长度为T秒，那么频率间隔为1/THz。

选择FFT的数据块大小为N，这将决定用于分析的信号有效长度。如果选择FFT分析的数据点为256，采样率为1024，那么，我们用于分析的信号有效长度将为1/4秒，频率间隔将是4Hz。

因为我们处理的工程分析信号是测量物理事件的信号，显然，设置频率间隔更明智，而不是任意选择FFT分析数据点数，这个参数与我们测量的物理问题关系不大。因此，通常设置的是频率间隔。

“不精确的”频率成分

在上面这个例子中，正弦波的频率刚好是频率间隔的整数倍。这是特定选择的结果，因为我们知道0.5s的数据给定的频率间隔为2Hz。现在，假设我们有一个正弦信号像最初的64Hz，但频率是63Hz。此时，信号的频率成分不再是频率间隔的整数倍，会发生什么情况？从时域上看，很难看出有任何的差异，但实际上这个明显的差异来自于傅立叶分析的结果。63Hz，0相位，单位幅值的正弦波的FFT结果如下图所示。

图5 63Hz的FFT结果

注意到这个结果不再像图4那样的尖钉，而是一个顶部被削掉的“尖钉”。在62Hz和64Hz处，幅值几乎相同，但不是0.5，而是约为0.32。进一步，相位在62Hz是0，在64Hz是180度。傅立叶分析告诉我们有一个复合的信号，两个主要的正弦波是62Hz和64Hz，其幅值为0.32，相位分别为0和180度。而实际上，我们知道信号是一个63Hz的单频正弦波。

如果我们将64Hz和63Hz的正弦波的FFT结果进行叠加，如下图所示，可以看出二者有明显的不同。

图6 叠加63Hz和64Hz信号的FFT结果重叠

这一点表明，当你解释说明正弦波的FFT结果时，你必须小心，因为显示的结果将依赖于信号的实际频率与“测量的”频率之间的关系。在这两个例子中，虽然幅值变化显著，但是如果你比较整个频率范围内频谱的RMS值，那么64Hz给出的RMS为0.707107，63Hz给出的RMS值为0.704936。

以上的结果是用FFT算法获得的。对于FFT而言，频率间隔是信号长度的函数。考虑到现代PC机的计算速度，我们也可以使用原始的直接傅立叶变换方法 (Direct Fourier Transform, DFT)。DFT允许我们去选择起始频率、结束频率和频率间隔。当然，DFT比FFT要慢得多。现在选择从40Hz到80Hz的区间，步长为0.1Hz的结果如下图所示的连续曲线。带*的标识为相应的FFT分析结果。

图7 63Hz正弦波的DFT分析结果

这显示了响应的主瓣，在63Hz处的幅值为0.5，相位为-90度。从62Hz到64Hz，相位从0变化到-180度。注意到这样数量的相位变化通常是从“精确的”频率到邻近频率。

上面这图显示了所有的“旁瓣”，这也说明了数字信号处理的另一方面，也就是众所周知的频谱泄漏。这个的主要原理是在一个频率处的能量“泄漏”到其他所有的频率处了。通过选择一个合适的数据窗函数可以减少泄漏。图7曲线的形状实际上是所谓的“频谱窗”。经常把这个认为是有效分析过滤器的形状可能更合适。在这个例子中，使用的窗函数是矩形窗。有关不同窗函数和它们相应的频谱在这不作详细讨论。

在这注意到，我们要小心地使用“频率间隔”而不是“频率分辨率”。显然，对于DFT和其他一些分析技术，我们可以改变频率间隔。对于FFT方法，频率间隔与“数据块大小”相关。但什么是频率分辨率？这是一个很大的主题，但在这我们只给出这个主题的本质。这个问题的线索就是图7中的频谱窗的形状。频率分辨率的工作定义是指分辨两个密集频率的能力。另一个更普遍的定义是频谱窗的半功率点 (-3dB)。现实中最有用的定义是频率带宽，称为等效噪声带宽 (ENBW)，这个跟半功率点的定义非常相似。ENBW由窗函数的形状和FFT分析数据块的长度决定。

信号持续时间的影响

如果我们取更长一段时域数据进行FFT分析，那么，频率间隔将更小。大多数情况下，这将有利于我们解决问题，但是如果所取的数据没有精确匹配信号的持续时间，那么会出现相同的现象。

傅立叶分析告诉我们一组正弦信号的幅值和相位，这组信号同原始的信号具有相同的持续时间。假设现在我们考虑的信号仍是由64Hz的单位幅值和192Hz，幅值为0.25的两个正弦波组成。但是64Hz的信号只作用在前半段，192Hz的信号只作用在后半段，我们整个信号的时间为1秒，如图8所示。

图8 两个正弦信号连接

这两个连接的信号的FFT结果如下图所示。

图9 两个连接的正弦信号的FFT结果

信号的频率成分，如预期一样，出现在64Hz和192Hz。但是，半幅值(半谱的幅值)现在是0.25(之前是0.5)和0.0625(之前是0.125)。从图上获得的解释在64Hz频率处有个正弦波，其半幅值是0.25，信号出现的时间长度为整个1秒钟；另一个正弦信号是192Hz，半幅值是0.0625，持续时间也是整个1秒钟。但是我们知道，原始的信号的半幅值是0.5，持续时间只是前半秒，另一个信号的半幅值是0.125，持续时间是后半秒。到底发生了什么，使得结果与原始信号不同？

仔细考虑64Hz附近的频谱，如图10所示，这揭示了在64Hz附近，有大量的频率成分。这时的频率间隔是1s，因为我们有1s的时域数据。它们的相对幅值和相位组合使得信号在前半部分的幅值在64Hz处加倍，在后半部分没有信号存在。相同的情况也发生在192Hz附近。

图10 连接的信号的FFT结果(局部)

还有一种情况是用0值拓展信号，这时，幅值也会减少。在这种情况下，幅值减少量与0值拓展百分比成正比。

那么，从这个例子中可以看出，当信号持续整个FFT分析的时域数据段全程时，信号的幅值才不会失真，当信号的持续时间少于整个时域全程时，其FFT分析得到的幅值是失真的。这是傅立叶分析非常重要的注意事项，也就是假设正弦和余弦信号持续整个FFT分析的时间全程。

正弦扫频信号

对于正弦扫频信号而言，理论上每个频率成分只持续一瞬时。一个正弦扫频信号从10Hz扫到100Hz，如下图所示。

图11 单位幅值的正弦扫频信号从10Hz 到100Hz

图12 正弦扫频信号的FFT结果

图中这个扫频信号有512个数据点，采样率为1024Hz。因此，扫频速率是180Hz/s。信号的FFT结果显示幅值约为0.075。整个扫频时间段，相位从0附近变化到-2000度，然后在100Hz以上稳定在-180度。如果扫频速率更低，约为10Hz/s，那么信号的幅值将变成0.019左右。频谱的幅值大小和原始扫频信号的扫频速率之间的关系不直观。

显然，要解释简单的傅立叶分析，不管是做FFT还是DFT，都要注意这些事项。傅立叶分析表明连续正弦波的幅值和相位是存在整个FFT分析的全程的。虽然我们没有讨论FFT的可逆性，但事实是傅立叶分析的信号是可逆的。也就是说如果我们有傅立叶分析整个频率区间(从0到奈圭斯特频率)，那么我们可以进行傅立叶逆变换得到时域信号。有一点要注意，如果信号中有任何随机噪声存在，那么傅立叶变换也会将这个噪声变换到时域。傅立叶变换自身不会去除或最小化噪声的影响，因此，简单的傅立叶分析不适用于随机数据，但适合于瞬态、复杂的或简单的周期信号，如发动机在稳定转速下产生的信号。

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