稀疏表示理论问题优化模型

稀疏表示是针对不确定方程组的求解问题而提出的。对不确定方程组Ax=b,A∈ $R^{n*m}$ ，且n<m，在A为满秩的条件下，方程数目小于未知数的个数，方程组有无数组解。给定不同的正则约束函数，不确定性方程组的解也会有所不同。稀疏表示模型是将解的系数性作为不确定性方程组一种约束，使方程组有唯一解。

稀疏表示的本质思想是：引入到信号表示理论中，从基或字典中寻求最小原子的线性组合来表示信号。从数学角度出发，系数表示模型是对高维数据进行线性分解的一种表示方法。假设信号（图像可看作一维向量）x∈ $R^{N}$ ，通过基或字典 $D=[d_{1},...,d_{i},...,d_{l}]\in R^{N*l} (N<l)$ 可得：

其中， $\alpha =[\alpha _{1},...,\alpha _{i},...,\alpha _{l}]^{T}\in R^{l}$ 是系数系数，即只有有限个（K）非零元素，其它元素均为零，则称α是K稀疏的。其具体过程如图所示：

稀疏表示问题可以通过下面等式约束给予描述：

其中，α为x的稀疏表示，D称为稀疏变换矩阵， $d_{i}$ 为原子，类似于小波变换中的小波基。 $||\alpha ||_{0}$ 表示 $l_{0}$ 范数，含义为非零元素的个数。从理论上讲，上式属于NP-hard问题，计算量大。相关研究学者已证明在一定的系数条件下， $l_{0}$ 范数可以转换为 $l_{1}$ 范数的凸优化估计问题：

在实际应用中，测量或传输过程中一般会引入噪声，数学模型可改写为：

上述等式约束模式转换成不等书约束模型，即：

其中，ε表示稀疏表示误差或噪声能量强度。上述模型具有其它等价模式，如稀疏性约束模式：

其中，ζ表示稀疏性指标，其正则化表达形式为：

其中，λ为正则化参数，用来均衡稀疏性和噪声或误差。

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