大家好，我是程序员吴师兄，欢迎来到图解剑指 Offer 专栏，在这个专栏里我将和大家一起学习如何用合理的思维来思考、解题、写代码。

今天分享的题目来源于 LeetCode 上的剑指 Offer 系列 面试题10- I. 斐波那契数列。

题目链接：https://www.algomooc.com/229.html

一、题目描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

提示：

• 0 <= n <= 100

二、题目解析

似乎学校的老师讲 递归 的时候都喜欢拿 斐波那契数列 举例。

因为，很容易就写出下面的代码。

class Solution {public int fib(int n) {if (n <= 0) return 0;if (n == 1) return 1;return (fib(n-1) + fib(n-2)) % 1000000007;}
}

结果也很明显，无脑的递归暴力解法包含了大量的重复计算，提交上去直接标红提示超出时间限制。

举个例子，n = 10。

接下来，我们依旧用 四步分析法 来分析一下这道题目。

• 模拟：模拟题目的运行。

• 规律：尝试总结出题目的一般规律和特点。

• 匹配：找到符合这些特点的数据结构与算法。

• 边界：考虑特殊情况。

1、模拟

观察递归树，不难发现，在这棵树上有 很多结点是重复的 ，而且重复的结点数会随着 n 的增大而急剧增加，比如 fib(8) 被计算了两次，并且，以 fib(8) 为根的这个递归树体量巨大，多算一遍，会耗费巨大的时间。

事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以 n 的指数的方式递增的。

2、规律

即然耗时的原因是重复计算，我们只要想办法避免重复计算就行了。

如何避免重复计算？

找一个合适的 数据结构 在递归的过程中存储计算的值，重复遇到某数字则直接从该 数据结构 中取用，避免重复计算。

3、匹配

这个合适的数据结构可以用 数组 。

4、边界

初始情况只有一个数或者两个数

三、动画理解

四、参考代码

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class Solution {public int fib(int n) {//边界判断if(n == 0) return 0;//用于存储第 0 到 n 个数对应的值int[] dp = new int[n + 1];//先定义好第一个数dp[0] = 0;//再定义好第二个数dp[1] = 1;//计算大于 0 和大于 1 的值for(int i = 2; i <= n; i++){//当遇到之前计算过的数时，将不再递归往下找，直接用记忆化结果dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];//题目要求进行取模处理dp[i] %= 1000000007;}//返回结果return dp[n];}
}

五、复杂度分析

时间复杂度

时间复杂度为 O(N) 。

空间复杂度

空间复杂度为 O(N)。

六、相关标签

• 递归

• 记忆化

• 备忘录

• 动态规划

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