【洛谷 P5850】 calc加强版（生成函数+NTT）

传送门

先看做无序的最后乘上 n ! n! n!
显然可以构造生成函数 ∏ ( 1 + i x ) \prod(1+ix) ∏(1+ix)
分治 n t t ntt ntt好像也可以过？不过不知道为啥 R E RE RE了
应该是炸空间了

先取对在 e x p exp exp

= e x p ( ∫ ( ∑ i 1 + i x ) d x ) =exp(\int(\sum{\frac i{1+ix}})\mathrm{dx}) =exp(∫(∑1+ixi)dx)
e x p exp exp内的
= ∫ ( ∑ i = 1 k ∑ j = 0 ∞ ( − 1 ) j i j x j ) =\int(\sum_{i=1}^k\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^ji^jx^j) =∫(i=1∑kj=0∑∞(−1)jijxj)
= ∑ i = 1 k ∑ j = 1 ∞ ( − 1 ) j − 1 i j j x j =\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j-1}\frac{i^j}{j}x^j =i=1∑kj=1∑∞(−1)j−1jijxj
= ∑ j = 1 ∞ ( − 1 ) j − 1 j ! x j ∑ i = 1 k i j =\sum_{j=1}^{\infty}\frac{(-1)^{j-1}}{j!}x^j\sum_{i=1}^ki^j =j=1∑∞j!(−1)j−1xji=1∑kij

后面就是要求等幂和
考虑等幂和的 E G F EGF EGF

∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 k j i x i i ! \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^k\frac{j^ix^i}{i!} i=1∑∞j=1∑ki!jixi
= ∑ j = 1 k ∑ i = 1 ∞ j i x i i ! =\sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^{\infty}\frac{j^ix^i}{i!} =j=1∑ki=1∑∞i!jixi
= ∑ j = 1 k e j x =\sum_{j=1}^ke^{jx} =j=1∑kejx
= ∑ j = 0 k e j x − 1 =\sum_{j=0}^ke^{jx}-1 =j=0∑kejx−1
= e ( k + 1 ) x − 1 e x − 1 − 1 =\frac{e^{(k+1)x}-1}{e^x-1}-1 =ex−1e(k+1)x−1−1

复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cs const
#define re register
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define bg begin
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;(ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){char ch=gc();int res=0;bool f=1;while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();return f?res:-res;
}
template<class tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<class tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?(a-mod):a;}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;return (r>=mod)?(r%mod):r;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b,a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;a=(r>=mod)?(r%mod):r;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
inline int fix(int x){return (x<0)?x+mod:x;}
cs int N=500005;
int fac[N],ifac[N],iv[N];
inline void init_inv(cs int len=N-5){iv[0]=iv[1]=fac[0]=ifac[0]=1;for(int i=1;i<=len;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);ifac[len]=Inv(fac[len]);for(int i=len-1;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);for(int i=2;i<=len;i++)iv[i]=mul(mod-mod/i,iv[mod%i]);
}
typedef vector<int> poly;
namespace Poly{cs int G=3,C=21,M=(1<<C)+1;int *w[C+1];int rev[M];inline void init_rev(int lim){for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));}inline void init_w(){for(int i=1;i<=C;i++)w[i]=new int[(1<<(i-1))+1];int wn=ksm(G,(mod-1)/(1<<C));w[C][0]=1;for(int i=1,l=1<<(C-1);i<l;i++)w[C][i]=mul(w[C][i-1],wn);for(int j=C-1;j;j--)for(int i=0;i<(1<<(j-1));i++)w[j][i]=w[j+1][i<<1];}inline void ntt(int *f,int lim,int kd){for(int i=0;i<lim;i++)if(i>rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);for(int mid=1,l=1,a0,a1;mid<lim;mid<<=1,l++)for(int i=0;i<lim;i+=mid<<1)for(int j=0;j<mid;j++)a0=f[i+j],a1=mul(f[i+j+mid],w[l][j]),f[i+j]=add(a0,a1),f[i+j+mid]=dec(a0,a1);if(kd==-1){reverse(f+1,f+lim);for(int i=0,iv=Inv(lim);i<lim;i++)Mul(f[i],iv);}}inline poly operator *(poly a,poly b){int deg=a.size()+b.size()-1;if(deg<=32){poly c(deg,0);for(int i=0;i<a.size();i++)for(int j=0;j<b.size();j++)Add(c[i+j],mul(a[i],b[j]));return c;}int lim=1;while(lim<deg)lim<<=1;init_rev(lim);a.resize(lim),ntt(&a[0],lim,1);b.resize(lim),ntt(&b[0],lim,1);for(int i=0;i<lim;i++)Mul(a[i],b[i]);ntt(&a[0],lim,-1),a.resize(deg);return a;}inline poly Inv(poly a,int deg){poly b(1,::Inv(a[0])),c;for(int lim=4;lim<(deg<<2);lim<<=1){init_rev(lim);c.resize(lim>>1);for(int i=0;i<(lim>>1);i++)c[i]=(i<a.size()?a[i]:0);c.resize(lim),ntt(&c[0],lim,1);b.resize(lim),ntt(&b[0],lim,1);for(int i=0;i<lim;i++)Mul(b[i],dec(2,mul(b[i],c[i])));ntt(&b[0],lim,-1),b.resize(lim>>1);}b.resize(deg);return b;}inline poly deriv(poly a){for(int i=0;i<(int)a.size()-1;i++)a[i]=mul(a[i+1],i+1);a.pop_back();return a;}inline poly integ(poly a){a.pb(0);for(int i=a.size()-1;i;i--)a[i]=mul(a[i-1],iv[i]);a[0]=0;return a;}inline poly Ln(poly a,int deg){a=integ(deriv(a)*Inv(a,deg)),a.resize(deg);return a;}inline poly Exp(poly a,int deg){poly b(1,1),c;for(int lim=2;lim<(deg<<1);lim<<=1){c=Ln(b,lim);for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=dec(i<a.size()?a[i]:0,c[i]);Add(c[0],1),b=b*c,b.resize(lim);}b.resize(deg);return b;}
}
using namespace Poly;
int k,m;
poly e,ek,f,g;
int main(){#ifdef Stargazerfreopen("lx.in","r",stdin);#endifk=read(),m=read();init_w(),init_inv();e.resize(m+1),ek.resize(m+1),f.resize(m+1);for(int i=0,mt=k+1;i<=m;i++,Mul(mt,k+1))e[i]=ifac[i+1],ek[i]=mul(ifac[i+1],mt);g=ek*Inv(e,m+1);for(int i=1;i<=m;i++){f[i]=mul(g[i],fac[i-1]);if(!(i&1))f[i]=dec(0,f[i]);}f=Exp(f,m+1);for(int i=1;i<=m;i++)cout<<mul(fac[i],f[i])<<'\n';
}

【洛谷 P5850】 calc加强版（生成函数+NTT）相关推荐

洛谷.4245.[模板]任意模数NTT(MTT/三模数NTT)
题目链接三模数$NTT$: 就是多模数$NTT$最后$CRT$一下...下面两篇讲的都挺明白的. https://blog.csdn.net/kscla/article/details/ ...
洛谷 P4233 射命丸文的笔记 ntt
题目背景 (七)再见,地底世界的朋友们在地灵殿住了许多天了呢. 这些日子里,觉分享了很多旧地狱的故事. 此次地底旅行,可以说是非常充实了. 虽然仍旧有些不舍,不过人类总是要见太阳的,再说这样麻烦觉姐 ...
洛谷 P4463 [集训队互测 2012] calc（拉格朗日插值优化DP）
整理的算法模板合集: ACM模板点我看算法全家桶系列!!! 实际上是一个全新的精炼模板整合计划 Weblink https://www.luogu.com.cn/problem/P4463 Prob ...
【洛谷4389】付公主的背包（生成函数，多项式运算）
[洛谷4389]付公主的背包(生成函数,多项式运算) 题面有一个容量最多为$10^5$的背包有$n$种物品,数量无限,题解是$v_i$ 给定一个$m$,求所有\(s\in[1,m] ...
洛谷P5488 | FFT+生成函数+二项式定理
前言因为最近在学习生成函数和多项式有关的内容,很多这方面的东西也不是很懂,所以很多地方可能讲得不好或者是不清楚还请读者们见谅. 那么关于这道题呢,它是我前段时间刚学生成函数时见过的题目.当时由于是刚 ...
洛谷 P4245 【模板】任意模数NTT
洛谷 P4245 [模板]任意模数NTT 贴个板子,4次DFT. Code #include<cstdio> #include<algorithm> #include<c ...
python高精度乘法_洛谷P1919--A*B Problem升级版（NTT优化高精度乘法）
题目背景本题数据已加强,请使用 FFT/NTT,不要再交 Python 代码浪费评测资源. 题目描述给你两个正整数 a,b,求$ a \times b$. 输入格式第一行一个正整数,表示 a: ...
#莫比乌斯反演#BZOJ 2671 洛谷 4466 和与积 Calc
题目求有多少对(a,b)(a,b)(a,b)满足1≤a<b≤n1\leq a<b\leq n1≤a<b≤n且a+b∣aba+b|aba+b∣ab 分析若gcd(a,b)=1gcd ...
洛谷P4233 射命丸文的笔记【多项式求逆】
题目链接洛谷P4233 题解我们只需求出总的哈密顿回路个数和总的强联通竞赛图个数对于每条哈密顿回路,我们统计其贡献一条哈密顿回路就是一个圆排列,有$\frac{n!}{n}$种,剩余边随便 ...

【洛谷 P5850】 calc加强版（生成函数+NTT）

【洛谷 P5850】 calc加强版（生成函数+NTT）相关推荐

最新文章

热门文章