数学中的术语与常用表达

数学史是数学家史

英文名	中文名
Bernoulli	伯努利

术语

术语	中文	说明
slope	斜率
intercept	截距
STD: standard deviation	标准差
translation（Geometry）	平移	注意和transformation（变换的区别） translation of axis：平移坐标轴
expected value	期望值
population	总体	population mean：总体均值
numerator	分子	fraction：分数
denominator	分母	fraction：分数
Numerical integration	数值积分
DOF: degree of freedom	自由度

一些解释

自由度：∑ni=1αi=1\sum_{i=1}^n\alpha_i=1的自由度其实是 n−1n-1（有一个和式在约束）

表达

使用 π(x)\pi(x) 标识密度函数（density function）：
a vector of parameters θ=(θ1,θ2,…,θk)\theta=(\theta_1, \theta_2,\dots, \theta_k)

解析解与数值解

解析解：closed-form expression（analytical expression）
数值解：numerical solution

解析解就是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值（x→f(x)x\rightarrow f(x)），比如 argmin∥y−Xw∥22\arg\min\|y-Xw\|_2^2，通过简单的矩阵运算可得 wLIN=(XTX)−1XTyw_{LIN}=(X^TX)^{-1}X^Ty；

数值解就是用数值方法求出解，给出一系列对应的自变量和解。

x2=5x^2=5
解析解（analytical solution）：x=±5√x=\pm\sqrt{5}
数值解（numerical solution）：x=±2.236x=\pm2.236

解析解(analytical solution)就是一些严格的公式, 给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解, 他人可以利用这些公式计算各自的问题.

数值解(numerical solution)是采用某种计算方法,如有限元的方法, 数值逼近,插值的方法, 得到的解.别人只能利用数值计算的结果, 而不能随意给出自变量并求出计算值.

再比如（单）高斯对数似然，通过最大似然的方式得到可以显示求得 μ,σ\mu,\,\sigma 的计算公式（也即解析解）：μMLE=∑Ni=1xiN\mu_{MLE}=\frac{\sum_{i=1}^Nx_i}N，σ2MLE=∑Ni=1(xi−μMLE)2N\sigma_{MLE}^2=\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu_{MLE})^2}N

但对混合高斯模型，Θ={μi,Σi,αi}\Theta=\{\mu_i,\Sigma_i,\alpha_i\}，无法求得 ∂L(Θ|X)∂Θ\frac{\partial\,\mathcal{L}(\Theta|X)}{\partial\,\Theta} 的解析解。

关于数学的一些论断

That’s the thing about mathematics – you never know where it’s going to go. （这正是数学的美妙之处，你永远无法知道，它将何去何从。）

图文并茂

sphere and lattice：