抽象代数群论(第1章)2 子群,配集分解,循环群

一.子群与配集分解
1.子群
(1)概念:

(2)判定:

2.配集与配集分解
(1)将群分拆成等价类:

引理1:设GGG是群,A≤GA≤GA≤G;定义在GGG上的关系为:对应g,h∈G,g∼h⇔gh−1∈Ag,h∈G,g\sim h⇔gh^{-1}∈Ag,h∈G,g∼h⇔gh−1∈A,则∼\sim∼是GGG上的等价关系,且元素ggg对此等价关系的等价类是AgAgAg

(2)配集分解:

(3)拉格朗日定理(Lagrange Theorem):

定理1:设GGG为有限群,A≤GA≤GA≤G,则∣G∣=∣A∣⋅[G:A]|G|=|A|\cdot[G:A]∣G∣=∣A∣⋅[G:A]特别地,GGG的每个子群的阶都是GGG的阶的因子

拉格朗日定理是群论中第1个重要的数量结果

3.元素与群的阶

(1)元素的阶:

定理2:设GGG是有限群,则GGG中每个元素ggg的阶均是∣G∣|G|∣G∣的因子

性质1:设g∈G,gg∈G,gg∈G,g的阶为nnn,若对某个m∈Zm∈Zm∈Z,有gm=1g^m=1gm=1,则由整数集上的欧几里得带余除法知n∣mn\,|\,mn∣m

(2)非阿贝尔群的最小阶数:

引理2:若群GGG中每个元素g(≠e)g(≠e)g(=e)的阶均为2,则GGG是阿贝尔群

引理3:设ppp为素数,则ppp阶群GGG均是阿贝尔群,且均同构于整数模ppp加法群ZpZ_pZp

该引理表明:对于每个素数p,pp,pp,p阶群本质上只有1个,即ZpZ_pZp

引理4:非阿贝尔群的最小阶数是6

(3)阶的性质:

定理3:设g,hg,hg,h是群GGG中的元素
①若ggg是nnn阶元素,则对每个m∈N+,gmm∈N_+,g^mm∈N+,gm的阶是n(m,n)\frac{n}{(m,n)}(m,n)n
②若gh=hggh=hggh=hg,元素g,hg,hg,h的阶分别为m,nm,nm,n,且(m,n)=1(m,n)=1(m,n)=1,则ghghgh的阶为nmnmnm

定理4:设GGG为有限群,A,B≤GA,B≤GA,B≤G,则
①∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣/∣A∩B∣|AB|=|A|\cdot|B|/|A∩B|∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣/∣A∩B∣
②若A≤B≤GA≤B≤GA≤B≤G,则[G:A]=[G:B][B:A][G:A]=[G:B][B:A][G:A]=[G:B][B:A]
③[G:A∩B]≤[G:A][G:B][G:A∩B]≤[G:A][G:B][G:A∩B]≤[G:A][G:B],进而,若[G:A][G:A][G:A]与[G:B][G:B][G:B]互素,则[G:A∩B]=[G:A][G:B][G:A∩B]=[G:A][G:B][G:A∩B]=[G:A][G:B]且AB=GAB=G\,AB=G(注意:若A,BA,BA,B是GGG的子群,易知A∩BA∩BA∩B也是GGG的子群)

4.共轭
(1)共轭的定义:

(2)正规化子与中心化子:

(3)性质:

定理5:设MMM是群GGG的子集,则与MMM共轭的子集的个数等于[G:NG(M)][G:N_G(M)][G:NG(M)]

系\quad设a∈Ga∈Ga∈G,则与aaa共轭的元素个数等于[G:CG(a)][G:C_G(a)][G:CG(a)]
由该系及定理5可推出下面的定理

定理6:设ppp为素数,n≥1n≥1n≥1,GGG为pnp^npn阶群,则∣C(G)∣>1|C(G)|>1∣C(G)∣>1,即GGG有非平凡(即不为1)的中心元素

(4)非阿贝尔群的1个充分条件:

定理7:对每个素数p,p2p,p^2p,p2阶群GGG均是阿贝尔群

二.循环群

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