形式语言与自动机 第4章 正规文法和正规集的性质
文章目录
- 第4章 正规文法和正规集的性质
- 正规文法和有穷自动机
- RG →\to→ ε\varepsilonε-NFA
- DFA →\to→ RG
- 正规集的缩胀定理
- 正规集的封闭性质和判定性
- RL 的封闭性质
- FA 的判定问题
- 有穷自动机的极小化
- Myhill-Nerode 定理
第4章 正规文法和正规集的性质
正规文法和有穷自动机
RG →\to→ ε\varepsilonε-NFA
将文法中的变元看作状态，并增加一个新的状态 fff 作为终结状态：
DFA →\to→ RG
将文法中的变元看作状态；对于终结状态 F ，若 F 还有出边，则需要增加两条转移函数：
正规集的缩胀定理
缩胀定理：设 AAA 是一个正规集，则 ∃k≥0\exists k{\ge}0∃k≥0 ，对于任何串 xxx，yyy，zzz 且 xyz∈Axyz{\,}{\in}{\,}Axyz∈A ，只要 ∣y∣≥k|y|{\ge}k∣y∣≥k ，就可以将 yyy 写成 y=uvwy=uvwy=uvw，v≠εv\not={\varepsilon}v=ε ，并且对于 ∀i≥0\forall i{\geq}0∀i≥0 ，都有 xuviwz∈Axuv^iwz{\,}{\in}{\,}Axuviwz∈A ；
逆否命题：对于一个语言类 AAA ，若对 ∀k≥0\forall k{\ge}0∀k≥0 ，存在字符串 xxx，yyy，zzz 且 xyz∈Axyz{\,}{\in}{\,}Axyz∈A ，只要 ∣y∣≥k|y|{\ge}k∣y∣≥k ，对于将 yyy 写成任意 y=uvwy=uvwy=uvw，v≠εv\not={\varepsilon}v=ε ，并且 ∃i≥0\exists i{\geq}0∃i≥0 ，使得 xuviwz∉Axuv^iwz{\,}{\not\in}{\,}Axuviwz∈A ，则 AAA 不是正规集；
证明：取 k=nk=nk=n ，nnn 为对应 DFA 的状态数；在派生出长度大于 nnn 的字符串过程中，必然会出现两个重复的状态（重复状态中间生成的字符串对应 vvv ），则该段可以缩减，也可以反复膨胀
（常用逆否命题证明某个语言类不属于正规集）
例：证明集合 L1={0i2∣i∈N+}L_1=\{0^{i^2}|i{\,}{\in}{\,}N^+\}L1={0i2∣i∈N+} 不是正规集
证明：对 ∀k≥0\forall k{\ge}0∀k≥0 ，取 x=0k(k−1)x=0^{k(k-1)}x=0k(k−1) ，y=0ky=0^ky=0k，z=εz={\varepsilon}z=ε ，显然 ∣y∣=k|y|=k∣y∣=k；对于任意 y=uvwy=uvwy=uvw ，由于 1≤∣v∣≤k1{\le}|v|{\le}k1≤∣v∣≤k ，故取 i=2i=2i=2 ，此时 k2<xuv2wz≤k2+k<(k+1)2k^2<xuv^2wz{\le}k^2+k{\lt}(k+1)^2k2<xuv2wz≤k2+k<(k+1)2 ，故 xuv2wz∉L1xuv^2wz{\not\in}L_1xuv2wz∈L1 ，即 L1L_1L1 不是正规集
正规集的封闭性质和判定性
RL 的封闭性质
Th 4.5：正规集在并、连接和闭包运算下是封闭的
（由正规集的定义可知）
Th 4.6：正规集在补运算下封闭
（只需将对应的 FA 的终结状态和非终结状态对换）
Th 4.7：正规集在交运算下封闭
（ L1∩L2=L1‾∪L2‾‾L_1{\cap}L_2=\overline{\overline{L_1}\cup\overline{L_2}}L1∩L2=L1∪L2 ，因为并运算和补运算是封闭的，所以交运算也是封闭的）
Th 4.8：正规集与任意集合的商运算是封闭的
（商运算： L1/L2={x∣∃y∈L2,xy∈L1}L_1/L_2=\{x|\exists y{\,}{\in}{\,}L_2,xy{\,}{\in}{\,}L_1\}L1/L2={x∣∃y∈L2,xy∈L1} ）
FA 的判定问题
Th 4.9：具有 nnn 个状态的有穷自动机具有如下性质：
- 它接受的集合非空，当且仅当它接受一个长度小于 nnn 的字符串；
- 它接受的集合是无穷的，当且仅当它接受一个长度为 lll 的字符串，这里 n≤l<2nn{\le}l{\lt}2nn≤l<2n ；
（若接受集合非空，则对于其中任意一个字符串，若它长度大于等于 nnn，则接受过程中必然会有重复状态出现，因此可用缩胀定理将其长度缩短至小于 nnn ；若接受一个长度小于 nnn 的字符串，自然接受的集合非空）
（若接受的集合无穷，则必然接受一个长度大于等于 nnn 的串，接受过程中必然会有重复状态出现，将相邻的重复状态删去（每次删去的长度小于等于 nnn ），直至长度小于 2n2n2n ；若接受一个长度为 lll 的字符串，根据缩胀定理，可以不断膨胀，故接受的集合是无穷的）
推论：给定一个有穷自动机 MMM
- L(M)L(M)L(M) 是否为空是可判定的；
- L(M)L(M)L(M) 是否有穷是可判定的
（只需遍历所有长度小于 nnn 的字符串）
（只需遍历所有长度大于等于 nnn 且小于 2n2n2n 的字符串）
Th 4.10：两个有穷自动机是否等价是可判定的
（可构造一个有穷自动机，使得 L=(L1∩L2‾)∪(L1‾∩L2)L=(L_1{\cap}\overline{L_2}){\cup}(\overline{L_1}{\cap}L_2)L=(L1∩L2)∪(L1∩L2) （即对称差）；若该有穷自动机接受的语言为空集，则这两个有穷自动机等价；而有穷自动机接受语言是否为空是可判定的）
有穷自动机的极小化
等价关系：对于 p,q∈Qp,q{\,}{\in}{\,}Qp,q∈Q ，若对任意 x∈Σ∗x{\,}{\in}{\,}{\Sigma}^{\ast}x∈Σ∗ ， δ(p,x)∈F\delta(p,x){\,}{\in}{\,}Fδ(p,x)∈F 当且仅当 δ(q,x)∈F\delta(q,x){\,}{\in}{\,}Fδ(q,x)∈F ，则称 ppp 和 qqq 等价
算法：
① 首先画一个这样的阶梯形表格，并且将终结状态和非终结状态对应的位置打上标记；
（标记了意味着不等价）
② 对于上一轮增加的新标记的一对状态，若它们可由另一对状态接受相同字母转移而来，则将前一对状态也打上标记；
③ 重复 ② ，直至没有新的标记产生，最终没有被打上标记的状态是等价的
原理：
- 若 ppp 、qqq 等价，则 δ(p,a)\delta(p,a)δ(p,a) 和 δ(q,a)\delta(q,a)δ(q,a) 等价；
- 若 δ(p,a)\delta(p,a)δ(p,a) 和 δ(q,a)\delta(q,a)δ(q,a) 不等价，则 ppp 和 qqq 不等价；
例：将如图所示 FA 进行极小化，算法结果如右图所示，即状态 1 和状态 2 等价，状态 3 和状态 4 等价：
| 极小化前 | 算法草稿 |
|
|
| 极小化后 | |
|
Myhill-Nerode 定理
（这个定理比较难，简单讲一讲）
Myhill-Nerode 关系：设 A⊆Σ∗A{\,}{\subseteq}{\,}{\Sigma}^{\ast}A⊆Σ∗ ，RRR 为 Σ∗{\Sigma}^{\ast}Σ∗ 上的等价关系，称 RRR 为关于 AAA 的 Myhill-Nerode 关系，当且仅当 RRR 满足：
- 是右不变的（即若 xRyxRyxRy ，则 xzRyzxzRyzxzRyz ）
- 细分 AAA
- 具有有穷指数
RAR_ARA ：设 A⊆Σ∗A{\,}{\subseteq}{\,}{\Sigma}^{\ast}A⊆Σ∗ ，定义 Σ∗{\Sigma}^{\ast}Σ∗ 上的等价关系 RAR_ARA 为：xRAyxR_AyxRAy 当且仅当对任意 z∈Σ∗z{\in}{\Sigma}^{\ast}z∈Σ∗ ，xz∈A⟺yz∈Axz{\in}A\iff yz{\in}Axz∈A⟺yz∈A ；
Myhill-Nerode 定理：设 A⊆Σ∗A{\,}{\subseteq}{\,}{\Sigma}^{\ast}A⊆Σ∗ ，下列几个命题是等价的：
- AAA 是一个正规集
- 在 Σ∗{\Sigma}^{\ast}Σ∗ 上存在一个关于 AAA 的 Myhill-Nerode 关系
- 关系 RAR_ARA 具有有穷指数
（常用第三条反证第一条）
例：证明 A=0n1m2m∣n,m≥1A={0^n1^m2^m|n,m{\ge}1}A=0n1m2m∣n,m≥1 不是正规集
证明：考虑一列语句：001200120012，000120001200012，000012000012000012 …… 0n120^n120n12 …… ，其中 i≠ji{\not=}ji=j 时，有 (0i12+2i−1∈A)(0^i12+2^{i-1}{\,}{\in}{\,}A)(0i12+2i−1∈A) 而 (0i12+2j−1∉A)(0^i12+2^{j-1}{\,}{\not\in}{\,}A)(0i12+2j−1∈A) ，因此 RAR_ARA 的指数是无穷的，由 Myhill-Nerode 定理得，AAA 不是正规集；
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