Probability Theory | Coin Tossing Problems (TBC) | 概率论中的抛硬币问题（未完待续）

2024-05-13 17:20:54

Q1

Question:

Suppose we play a game. I roll a die up to three times. Each time I roll, you can either take the number showing as dollars, of roll again. What is your expected winnings?

Solution:

Let random variable XkX_kXk be the winnings for rolling a die up to k times.
The key is to formulate the following strategy: after rolling a dice, if the number showing is greater than the expected winnings of rollings the rest of the times, you should take the money. Expressing this with math:

E[Xk]=E[max⁡E[X_k] = E [ \maxE[Xk]=E[max (number for this toss, E[Xk−1])E [X_{k-1}] )E[Xk−1])

Thus, working from the end:
E[X1]=1/6×∑i=16i=7/2E[X_1] = 1/6 \times \sum_{i=1}^6 i = 7/2E[X1]=1/6×i=1∑6i=7/2
E[X2]=1/6×(6+5+4)+1/2×E[X1]=17/4E[X_2] = 1/6 \times(6+5+4)+1/2 \times E[X_1] = 17/4E[X2]=1/6×(6+5+4)+1/2×E[X1]=17/4
E[X3]=1/6×(6+5)+2/3×E[X2]=14/3E[X_3] = 1/6 \times (6+5)+2/3 \times E[X_2]=14/3E[X3]=1/6×(6+5)+2/3×E[X2]=14/3

Reflection:

This kind of problem is a little bit like DP - defining a subproblem, finding the relationship between subproblems, then starting from a base case and working upwards step by step.

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