<数据结构>倒拔二叉树
文章目录
- 1.树概念及结构
- 1.1树的概念
- 1.2 树的相关概念
- 1.3 树的表示
- 1.4 树在实际中的运用
- 2.二叉树概念及结构
- 2.1概念
- 2.2现实中的二叉树:
- 2.3 特殊的二叉树:
- 2.4 二叉树的性质
- 2.5 二叉树的存储结构
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1.树概念及结构
1.1树的概念
树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。
- 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点
- 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i<=m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
- 因此,树是递归定义的
注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构
1.2 树的相关概念
节点的度(娃的个数):一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
叶节点或终端节点(丁克):度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶节点
**非终端节点或分支节点 **(有孩子的节点):度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
兄弟节点(亲兄弟):具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6(AEIJPQ)
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
堂兄弟节点(堂兄弟):双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先(AEJQ都是Q的祖先)(自己也是自己的祖先)子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林 (以后讲并查集会讲到)
1.3 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既要保存值域,也要保存结点和结点之间的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法 以及 孩子兄弟表示法等。
我们这里就简单的了解其中最常用的
孩子兄弟表示法 :一个节点有多少个孩子都无所谓。父亲指向第一个孩子,剩下的孩子,用孩子的兄弟指针链接起来。
typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};
1.4 树在实际中的运用
表示文件系统的目录树结构 :本质上运用了孩子兄弟表示法。
2.二叉树概念及结构
2.1概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
- 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
- 或者为空
从上图可以看出:
二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的
2.2现实中的二叉树:
正常人:这树长得真对称,真标准!
程序员:卧槽,这不是满二叉树吗?
2.3 特殊的二叉树:
- 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是2的K次方减1 ,则它就是满二叉树。
- 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树的前K-1层是满的,最后一层不满,但最后一层从左往右是连续的。
2.4 二叉树的性质
若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2的(i-1)次方个结点。
若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0=n2+1
若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,(ps: 是log以2为底,n+1为对数)
对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点
若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,2i+1>=n否则无左孩子
若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,2i+2>=n否则无右孩子
2.5 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。
- 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。
- 链式存储
二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。
链式结构又分为二叉链和三叉链,当前我们学习中一般都是二叉链,后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链
typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
};
- 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199- 下列数据结构中,不适合采用顺序存储结构的是( )
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈- 在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
A n
B n+1
C n-1
D n/2- 一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( )
A 11
B 10
C 8
D 12- 一个具有767个节点的完全二叉树,其叶子节点个数为()
A 383
B 384
C 385
D 386
答案:
- B(n0 = n2 +1 = 199+1 = 200)规则请见二叉树的性质第三条
- A
- A
正经解法:
假设度为0 有n0个
假设度为1 有n1个
假设度为2 有n2个
2n = n0+n1+n2 = n0 + n1 + n0-1 = 2*n0 + n1-1
完全二叉树n1为1或0
因为这个个数是整数,上面公式要满足,n1只能为1
解得n0 = n
取巧解法:
假设n = 1
总共2个节点,其中叶子节点只有1个,答案是n- B
设高度为h
最多:2^h-1
最少:2^(h-1)-1+1(最后一层至少要有1个)
套个数据进去试- B 跟第三题方法一样
这章初步介绍了数和二叉树的概念,以后会经常用到其中的部分概念,概念是一切的基础,概念不清更别提做出题了,大家加油!
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