最小二乘法是在线性回归模型最小化均方误差时使用，其实就是对误差函数求导数，然后让其等于0 ，然后解出使得误差最小。本篇文章讲解最小二乘法。

首先声明，此篇的内容是来自"马同学高等数学"微信公众号的内容。

1、日用而不知

2、最小二乘法

3、推广

4、最小二乘法与正态分布

参考文献：

1、日用而不知

来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：

用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：

之所以出现不同的值可能因为：

不同厂家的尺子的生产精度不同
尺子材质不同，热胀冷缩不一样
测量的时候心情起伏不定
......

总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：

日常中就是这么使用的。可是作为很事'er的数学爱好者，自然要想下：

这样做有道理吗？
用调和平均数行不行？
用中位数行不行？
用几何平均数行不行？

2、最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作 $y_{i}$ ：

其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作 $y$ ：

每个点都向 $y$ 做垂线，垂线的长度就是 $|y-y_{i}|$ ，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：

因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：

误差的平方和就是（ $\epsilon$ 代表误差）：

因为 $y$ 是猜测的，所以可以不断变换：误差的平方和也在不断变化的。法国数学家，阿德里安-马里·勒让德（1752－1833）提出让总的误差的平方最小的 $y$ 就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动，勒让德的想法变成代数式就是：

这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：

进而：

正好是算术平均数。原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。以下这种方法：

就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思。

3、推广

算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。比如温度与冰淇淋的销量：

看上去像是某种线性关系：

可以假设这种线性关系为：，通过最小二乘法的思想：

上图的 $i,x,y$ 分别为：

总误差的平方为：

不同的 $a,b$ 会导致不同的 $S_{\epsilon^{2}}$ ，根据多元微积分的知识，当：

这个时候 , $S_{\epsilon^{2}}$ 取最小值。对于 $a,b$ 而言，上述方程组为线性方程组，用之前的数据解出来：

也就是这根直线：

其实，还可以假设：

在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出 $a,b,c$ ，得到下面这根红色的二次曲线：

同一组数据，选择不同的 $f(x)$ ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线:

从上图可以看到，多项式 $f(x)$ 的幂次越高，其对数据的拟合程度越高，那么是不是我们就应该选择幂次尽量高的 $f(x)$ 呢，显然不是的，在机器学习中，这会产生过拟合现象，也就是说多项式能够完美的拟合训练集的数据，但是它的完美仅仅是相对于一直的这些数据而言的，如果输入新的测试数据，它反而不能较好的对新输入的数据进行拟合。其实在上图中，我们完全可以选择一次多项式作为拟合函数，虽然它相对于其他比它幂次更高的拟合程度并不高，但是其大致能拟合离散的数据点。根据奥卡姆剃刀原理，我们选择一次多项式作为拟合函数是最合适的。

4、最小二乘法与正态分布

我们对勒让德的猜测，即最小二乘法，仍然抱有怀疑，万一这个猜测是错误的怎么办？数学王子高斯（1777－1855）也像我们一样心存怀疑。高斯换了一个思考框架，通过概率统计那一套来思考。让我们回到最初测量线段长度的问题。高斯想，通过测量得到了这些值：

每次的测量值 $x_{i}$ 都和线段长度的真值 $x$ 之间存在一个误差: $\epsilon_{i} = x - x_{i}$ ，这些误差最终会形成一个概率分布，只是现在不知道误差的概率分布是什么。假设概率密度函数为： $p(\epsilon)$ 再假设一个联合概率，这样方便把所有的测量数据利用起来：

把 $x$ 作为变量的时候，上面就是似然函数了。 $L(x)$ 的图像可能是这样的:

根据最大似然估计的思想，联合概率最大的最应该出现（既然都出现了，而我又不是“天选之子”，那么自然不会是发生了小概率事件），也就是应该取到下面这点：

当下面这个式子成立时，取得最大值：，然后高斯想，最小二乘法给出的答案是：

如果最小二乘法是对的，那么 $x = \bar{x}$ 时应该取得最大值，即：

好，现在可以来解这个微分方程了。最终得到：

这是什么？这就是正态分布啊。并且这还是一个充要条件：

也就是说，如果误差的分布是正态分布，那么最小二乘法得到的就是最有可能的值。

那么误差的分布是正态分布吗？

如果误差是由于随机的、无数的、独立的、多个因素造成的，比如之前提到的：

不同厂家的尺子的生产精度不同
尺子材质不同，热胀冷缩不一样
测量的时候心情起伏不定
......

那么根据中心极限定理，误差的分布就应该是正态分布。虽然勒让德提出了最小二乘法（高斯说他最早提出最小二乘法，只是没有发表），但是高斯的努力，才真正奠定了最小二乘法的重要地位。

参考文献：

如何理解最小二乘法？ https://mp.weixin.qq.com/s/4e9ZiiGIOWx_ZUGjzgavWw

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