Description

给定n
对于i从1~n，输出i个点组成竞赛图中，哈密顿回路的平均数量

Solution

竞赛图存在哈密顿回路的充要条件就是强连通
设f(n)f(n)f(n)表示n个点形成强连通竞赛图的方案数，一个简单的容斥就是f(n)=2(n2)−∑i=1n−1(ni)f(i)2(n−i2)f(n)=2^{\binom{n}{2}}-\sum_{i=1}^{n-1}{\binom{n}{i}f(i)2^{\binom{n-i}{2}}}f(n)=2(2n)−∑i=1n−1(in)f(i)2(2n−i)
考虑分子怎么求。我们先钦定一个环，然后剩余边随便连，可以发现这样实际上是在算所有哈密顿回路出现次数之和。
于是答案就是(n−1)!2((n2)−n)f(n)\frac{{\left(n-1\right)}!{2}^{\left({\binom{n}{2}-n}\right)}}{f(n)}f(n)(n−1)!2((2n)−n)
求f的话直接分治ntt就可以了

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)typedef long long LL;
const int MOD=998244353;
const int N=800005;LL f[N],g[N],A[N],B[N],fac[N],inv[N];
LL wn1[N],wn2[N];
int rv[N],n;void upd(LL &x,LL v) {x+=v,(x>=MOD)?(x-=MOD):0;
}LL ksm(LL x,LL dep) {LL res=1;for (;dep;dep>>=1,x=x*x%MOD) {(dep&1)?(res=res*x%MOD):0;}return res;
}void NTT(LL *a,int n,int f) {for (int i=0;i<n;++i) if (i<rv[i]) std:: swap(a[i],a[rv[i]]);for (int i=1;i<n;i<<=1) {LL wn=((f==1)?wn1[i]:wn2[i]);for (int j=0;j<n;j+=(i<<1)) {LL w=1;for (int k=0;k<i;++k,w=w*wn%MOD) {LL u=a[j+k],v=a[j+k+i]*w%MOD;a[j+k]=u+v,(a[j+k]>=MOD)?(a[j+k]-=MOD):0;a[j+k+i]=u-v,(a[j+k+i]<0)?(a[j+k+i]+=MOD):0;}}}if (f==-1) {LL ny=ksm(n,MOD-2);for (int i=0;i<n;++i) a[i]=a[i]*ny%MOD;}
}void solve(int l,int r) {if (l==r) {if (l) f[l]=(g[l]+MOD-f[l])*fac[l]%MOD;return ;}int mid=(l+r)>>1;solve(l,mid);int len=1,lg=0; for (;len<=(r-l+1)*2;) len<<=1,lg++;for (int i=0;i<len;++i) {rv[i]=(rv[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));A[i]=0,B[i]=g[i];}rep(i,l,mid) A[i-l]=f[i]*inv[i]%MOD;NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);for (int i=0;i<len;++i) A[i]=A[i]*B[i]%MOD;NTT(A,len,-1);rep(i,mid+1,r) upd(f[i],A[i-l]);solve(mid+1,r);
}int main(void) {fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;for (int i=1;i<N;i<<=1) {wn1[i]=ksm(3,(MOD-1)/i/2);wn2[i]=ksm(3,MOD-1-(MOD-1)/i/2);}rep(i,2,1e5) {fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;}rep(i,2,1e5) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%MOD;scanf("%d",&n);rep(i,1,n) g[i]=ksm(2,(LL)i*(i-1)/2)*inv[i]%MOD;solve(0,n);puts("1\n-1");rep(i,3,n) {LL ans=fac[i-1]*ksm(2,(LL)i*(i-3)/2)%MOD;ans=ans*ksm(f[i],MOD-2)%MOD;printf("%lld\n", ans);}return 0;
}

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