matlab调和级数求和,科学网—疯狂的绝技------级数加速收敛的艺术

很多时候，我们需要计算一个无穷级数之和。比如，历史上著名的Basel问题是要计算级数

之和。这个问题之所以叫巴塞尔问题，是因为来自巴塞尔的约翰-伯努利和雅克比-伯努利为之苦恼了很久，尔后解决之的数学家欧拉也来自巴塞尔。欧拉解决这个问题时，雅克比-伯努利已经死了，约翰-伯努利为之深表遗憾。

从纯粹数学分析的角度看，这个问题颇具吸引力。众所周知，调和级数

是发散的，并且是处在临界点上的发散级数。将分母上的n改成n的平方后，级数衰减加快，就收敛了。

欧拉凭借其天才解决了这个问题。事实上，用了不到2页纸，他不仅解决了这个问题，还解决了一系列类似的问题，即分母是n的任意偶数次幂的情况。他其实得到了所谓的欧拉等式

这个等式博主曾多次用到。

欧拉得到的结果是，这个级数和为pi^2/6。很神奇，无端中出现了圆周率pi。这让人想起维格纳讲的那个笑话。他两个同学多年之后相遇了，甲问乙在干什么，乙说他在做人口预测，然后给甲看预测公式，公式里有pi，甲便说这肯定错了，人口增长跟圆周率有什么关系呢？

欧拉的解法有天马行空的天才特征，但是也正因为如此在严格性上有所缺失。

不过欧拉对自己的结果有信心，因为在这之前他曾老老实实地计算过这个级数和，跟pi^2/6吻合很好。

本来对这个级数求和是一个很困难的问题。因为很明显，级数平方衰减，如果截断到前N项，那么误差就在1/N的量级。如果想算到小数点后三位，那么得取前1000项，这个计算量令人望而生畏。可是，欧拉一口气算到了小数点后20位！这对应着截取前万亿亿项，用今天的计算机恐怕也得算上千年呢。

原来欧拉有他自己发明的绝技，即后来所谓的欧拉-马克劳林公式。大体而言，这个公式在离散和和连续积分之间建立了一座桥梁。通常物理文献里的求和化积分，其实就是取这个公式的首项，后面更细致的小数点后多位的高阶项就扔了。这个公式的准确表述如下，其中B是所谓的伯努利常数，事先已经计算好了。

用在计算级数和上，这个公式的作用是生成一个收敛非常快的渐进级数。基于这个级数，下面的matlab程序在只取原级数前10项的情况下，将级数和算到计算机机器精度，也就是小数点后15位。其中的计算量哪怕手算也是可以胜任的。

上世纪20年代，Richardson等人又发明了新办法。其想法之简单，几句话就可以说清楚。

其效率之高，居然只需要前512项就可以达到计算机机器精度！下面是针对basel问题的matlab程序：

计算结果(随着迭代，曲线依次往下)：

作业1：计算Leibniz级数的和

准确的结果是pi/4。这是Leibniz很得意的发现，但是他没有用这个级数计算圆周率，为什么？你现在是否有办法？

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