满意答案

smrmhm

2013.06.03

采纳率：40%    等级：12

已帮助：12477人

辗转相除法 百科名片 欧几里德辗转相除法, 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。简单的想法 　　设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq......r 1(0≤r)。若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q......r2 (0≤r2).若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a，b)。 原理及其详细证明 　　在介绍这个方法之前，先说明整除性的一些特点(下文的所有数都是正整数，不再重覆)，我们可以这样给出整除性的定义： 　　对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b为a的因子，a为b的倍数。 　　如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数(公有因数)。 　　由此我们可以得出以下推论： 　　推论1、如果a能被b整除(a=qb)，若k为正整数，则ka也能被b整除(ka=kqb) 　　推论2、如果a能被c整除(a=hc)，b也能被c整除(b=tc)，则(a±b)也能被c整除 　　因为：将二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减：a－b=hc－tc=(h－t)c 　　所以：(a±b)也能被c整除 　　推论3、如果a能被b整除(a=qb)，b也能被a整除(b=ta)，则a=b 　　因为：a=qb　b=ta　a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1 　　所以：a=b 　　辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数，在数值很大时尤其有用，而且应用在电脑程式上也十分简单。其理论如下: 　　如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数，即 m=nq+r，则 gcd(m,n)=gcd(n,r)。 　　证明是这样的: 设 a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r) 　　证明： 　　∵a为m,n的最大公约数， 　　∴m能被a整除，且n也能被a整除， 　　∴由推论1得：qn也能被a整除， 　　∴ 由推论2得：m-qn也能被a整除， 　　又 ∵m-qn=r， 　　∴r也能被a整除，即a为n和r的公约数(注意：还不是最大公约数) 　　∵b为n和r的最大公约数，a为n和r的公约数 　　∴a≤b， 　　同理 　　∵b为n, r的最大公约数， 　　∴n能被b整除，且r也能被b整除， 　　∴由推论1得：qn也能被b整除， 　　∴由推论2得：qn+r也能被b整除， 　　又∵m=qn+r， 　　∴m也能被b整除，即b为m和n的公约数，(注意：还不是最大公约数) 　　∵a为m,n的最大公约数，b为m和n的公约数， 　　∴b≤a， 　　由以上可知： 　　a≤b与b≤a同时成立， 　　故可得 　　a=b， 　　证毕。 　　例如计算 gcd(546, 429) 　　gcd(546, 429) 546=1*429+117 　　=gcd(429, 117) 429=3*117+78 　　=gcd(117, 78) 117=1*78+39 　　=gcd(78, 39) 78=2*39 　　=39 [编辑本段]计算机算法自然语言描述 　　辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的： 　　1. 若 r 是 a ÷ b 的余数, 则 　　gcd(a,b) = gcd(b,r) 　　2. a 和其倍数之最大公因子为 a。 　　另一种写法是： 　　1. a ÷ b，令r为所得余数(0≤r＜b) 　　若 r = 0，算法结束；b 即为答案。 　　2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。 流程图 　　 流程图(当型) 伪代码 　　这个算法可以用递归写成如下: 　　function gcd(a, b) { 　　if b<>0 　　return gcd(b, a mod b); 　　else 　　return a; 　　} c语言实现 　　/* 辗转相除法(递归)*/ 　　#include 　　int Gcd(int a,int b); 　　int main(void ) 　　{ 　　int m,n,t; 　　printf("Enter the two figures:"); 　　scanf("%d %d",&m,&n); 　　printf("Gcd:%d\n",Gcd(m,n)); 　　return 0; 　　} 　　int Gcd(int m,int n)//最大公约数 　　{ 　　int t; 　　if(m

00分享举报