二维坐标基本变换（平移、旋转、缩放、镜像、阵列）

诸如图像、模型等的基本变换，实际上都是点坐标的变换，通过矩阵，可以非常方便的达到这个目的。在下文仅介绍二维坐标变换原理。

首先，定义点类如下：

//定义点类，亦可表示向量
class vec2
{
public:float v[2];//v[0]为横坐标，v[1]为纵坐标vec2(){}~vec2(){}//构造函数，例vec2 p(0,0);表示构造p点坐标为（0,0）vec2(const float &x, const float &y){v[0] = x; v[1] = y;}//重载[]，如vec2 p ;p[0]即表示x坐标值，p[1]表示y坐标值float &operator[] (int i) { return v[i]; }const float &operator[] (int i) const { return v[i]; }
};

注意，为了形式统一，变换矩阵应统一为3*3阶，同理，对于三维坐标变换矩阵应是4*4阶。关于矩阵的表示，实际上便是一个二维数组，其相关运算可以直接利用Eigen库，具体如何配置就不在此赘述。矩阵如何定义可参考如下，注意矩阵的初始化不应该是全部元素为0，而是对角元素为1，其余为0，即单位矩阵E.

class  Matrix2D
{
public:double A[3][3];
} ;

对于一点 $p_{i}$ 表示为1*3的矩阵 $(x_{1},y_{1},1)$ ，则一个点集S = { $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ }表示为一个n*3的矩阵：

$\begin{bmatrix} x_{1} &y_{1} &1 \\ x_{2} &y_{2} &1 \\ . &. &.\\ . &. &.\\ . &. &.\\ x_{n} &y_{n} &1 \end{bmatrix}$

我们将这个矩阵称为原始矩阵 $T_{o}$ ，而后续的变换表示为这个矩阵乘以一个或多个矩阵，实则为两个二维数组的乘法与加法。

一、平移

对于平移我们需要知道一个平移的方向和平移的距离，因此可以通过一个向量表示这2个量，即

$v_{t}\left(x_{v}, y_{v}\right)$ ，平移矩阵 $T_{t}$ 表示为：

$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ x_{v} & y_{v} & 1 \end{array}\right]$

平移后的坐标即为 $T_{o}$ * $T_{t}$ 。

二、旋转

对于旋转我们需要的是一个弧度θ，则旋转矩阵 $T_{r}$ 表示为：

$\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

若只是乘上 $T_{r}$ ，表示的是坐标绕原点旋转，如果输入旋转中心 $C_{R}\left(x_{c}, y_{c}\right)$ ，应将目标点的坐标平移到旋转中心，完成旋转后再平移回来，变换矩阵应为 $T_{t}$ * $T_{r}$ * $T_{t}^{-1}$ ，即：

$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ x_{c} & y_{c} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -x_{c} & -y_{c} & 1 \end{array}\right]$

旋转后的坐标即为 $T_{o}$ * $T_{t}$ * $T_{r}$ * $T_{t}^{-1}$ 。

三、缩放

对于缩放我们需要的是一个缩放系数t，则缩放矩阵 $T_{z}$ 表示为：

$\left[\begin{array}{lll} t & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

若输入缩放中心 $C_{z}\left(x_{c}, y_{c}\right)$ ，同旋转，应先平移到缩放中心缩放完再平移回来。变换矩阵应为 $T_{t}*T_{z}*T_{t}^{-1}$ ，即：

$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ x_{c} & y_{c} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} t & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -x_{c} & -y_{c} & 1 \end{array}\right]$

缩放后的坐标即为 $T_{o}$ * $T_{t}*T_{z}*T_{t}^{-1}$ 。

四、镜像

对于镜像，我们需要输入对称轴，即输入2个点p,q，但实际上计算需要的是对称轴的法向量 $v_{n}\left(x_{v}, y_{v}\right)$ ，通过p-q获得对称轴方向向量，再求其垂直向量即可。镜像矩阵 $T_{m}$ 表示为：

$\left[\begin{array}{ccc} 1-2 x_{v}{ }^{2} & -2 x_{v} y_{v} & 0 \\ -2 x_{v} y_{v} & 1-2 y_{v}{ }^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

另外就是需要一个表示对称轴位置的点，在输入的对称轴2点中随便取一点即可，表示为 $P_{m}\left(x_{\mathrm{m}}, y_{m}\right)$ ，变换矩阵为 $T_{t}*T_{m}*T_{t}^{-1}$ ，即：

$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ x_{\mathrm{m}} & y_{m} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 1-2 x_{v}{ }^{2} & -2 x_{v} y_{v} & 0 \\ -2 x_{v} y_{v} & 1-2 y_{v}{ }^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -x_{\mathrm{m}} & -y_{m} & 1 \end{array}\right]$

镜像后的坐标即为 $T_{o}$ * $T_{t}*T_{m}*T_{t}^{-1}$ 。

五、阵列

阵列可以分为环形阵列和方向阵列。

1.环形阵列

和旋转变换类似，输入阵列中心 $C_{R}\left(x_{c}, y_{c}\right)$ ，阵列数量 $N$ ，通过不断旋转获得阵列对象，变换矩阵 $T_{ring}$ 表示为：

$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ x_{c} & y_{c} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \cos \frac{2 \pi i}{N} & \sin \frac{2 \pi i}{N} & 0 \\ -\sin \frac{2 \pi i}{N} & \cos \frac{2 \pi i}{N} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -x_{c} & -y_{c} & 1 \end{array}\right], i=1,2, \ldots, N$

环形阵列的每个对象坐标为 $T_{o}$ * $T_{ring}$ 。

2.方向阵列

和平移变换类似，输入2个点，表示阵列的方向，实际上我们需要的是单位方向向量 $v_{d}\left(x_{v}, y_{v}\right)$ 、阵列对象之间的间距 $\Delta d$ 和阵列数量 $N$ ，其单位方向向量由输入的2个点相减后除以模长获得，变换矩阵 $T_{dir}$ 表示为：

$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ i \cdot \Delta d \cdot x_{v} & i \cdot \Delta d \cdot y_{v} & 1 \end{array}\right], i=1,2, \ldots, N$

方向阵列的每个对象坐标为 $T_{o}$ * $T_{dir}$ 。

六、实现效果

在MFC中实现的效果如下图所示：