币值最大化

问题描述

给定一排n个硬币，其面值均为整数c1, c2, …, cn, 这些整数并不一定两两不同。问如何选择硬币，使得在其原始位置互不相邻的条件下，所选硬币的总金额最大。

解题思路

上述最大可选金额用f(n)表示，我们可以将所有可行的选择划分为两组：包括最后一枚硬币的和不包括最后一枚硬币的。第一组中，可选包含最后一枚硬币的，最大金额为Cn+f(n-2)，即最后一枚硬币加上前面n-2枚硬币可选的最大金额。按照f(n)的定义，另一组中可选的最大金额为f(n-1)，即前n-1枚硬币的最大金额。
可得出符合初始条件的递推方程：

f(n)=max{Cn+f(n-2),f(n-1)}
f(0)=0,f(1)=c1

再用回溯的方法得到获取最大值的各个币值
用币值大小为5 1 2 10 6 4 的几枚硬币为例子
通过上述方程列表：
再通过回溯法得到所选择的硬币
分为两种情况，即选择了第n-1个和没选择第n-1个硬币，如果f(n)=f(n-1)则选择了第n-1个反之则没有选择第n-1个。
代码如下所示：

// a币值最大化.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//#include "stdafx.h"#include"math.h"#define max(x,y)  (x>y)?x:y#define MAX 20int c[MAX];//代表价值int f[MAX];int coinmax(int n){c[0] = 0;//初始化c[0]及f[0]f[0] = 0;f[1] = c[1];for (int i = 2; i <= n; i++){f[i] = max(c[i] + f[i - 2], f[i - 1]);//获取最大币值}return f[n];}int main(){int n;printf("请输入有多少个纸币：");scanf("%d", &n);printf("请分别输入纸币的价值：");for (int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d", &c[i]);}int arr[MAX];//定义arr数组表示所选择的硬币int num = 0;printf("最大币值为：%d\n", coinmax(n));for (int i = n; i >= 1; i--){if (f[i] == f[i - 1])//选择了第i-1个，然后再将第i-1个放进arr数组{arr[num++] = c[--i];}else{arr[num++] = c[i--];//没有选择第i-1个则将他本身先放入数组，//然后再将数组c的下标减一，arr的下标加一}}printf("各个币值为：");for (int i = 0; i<num; i++)printf("%d ", arr[i]);}

运行结果如下：

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动态规划解决币值最大化问题

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