《算法导论》第九章.中位数和顺序统计量

一.什么是中位数？

在一个n个元素顺序排列的集合中，一个中位数是它所属集合的中点元素。

用公式表达中位数的位置就是：

1.当n为奇数时：
i=(n+1)/2;

2.当n为偶数时，有两个中位数：
i=n/2 ;
i=n/2+1;

因此，若不考虑n的奇偶性，中位数总是出现在 :i=(n+1)/2处和i=(n+2)/2处。

为了方便起见，以后博客的内容默认中位数在：（n+1)/2处

二.本章主要内容：

本章将讨论从一个有由n个互不相同的元素组成的集合中选择第i个顺序统计量（就是在顺序的排序的下第i个元素）的问题。
于是我们可以对输入和输出有如下的定义：

输入：一个包含n个数的集合A和一个整数i，1<=i<=n。
输出：元素x，且在A中恰好有i-1个小于它的元素。

我们很容易的知道可以通过排序算法将数组A排个序，然后找出第i个元素就可以解决这个问题。但是有没有更快的算法呢？

当然有，这个就是本章的内容。

三.具体策略：

1.特例：最小值和最大值
我们要知道：如果我们为了确定n个元素中的最小值或最大值，必须要做n-1次比较。

那么如果我们要同时确定最大值和最小值，就一定要进行2n-2次比较吗？

事实上，我们有只需要3n/2次比较就可以同时找到最大值和最小值的方法！！

做法如下：
(1)首先，我们将一对输入元素相互进行比较
(2)然后把较小的与当前最小值比较，把最大的与当前最大值进行比较。
这样，对每两个元素共需三次比较。

那么如何设定当前的最小值和最大值呢？
这个取决于n是奇数还是偶数：如果n是奇数，最大值最小值都是第一个元素。
如果n是偶数，就对前两个元素做一次比较来决定最大值最小值。

算法java代码实现：

public class MinAMax {int max;int min;public void MaxMin(int a[]){if(a.length%2==1){//如果数组a中元素有奇数个max=min=a[0];//将第一个元素默认为最大值和最小值for(int i=1;i<a.length;i+=2) {//从第二个元素开始成对向后循环，直到结束if(a[i]>a[i+1])//比较两个元素，如果前者大于后者，互换Swap(a,i,i+1);if(a[i]<min)//将较小者与当前最小值比较min=a[i];if(a[i+1]>max)//将较大者与当前最大值比较max=a[i+1];}} else{//否则数组a中元素有偶数数个//将前两个元素的值赋给最大和最小值if(a[0]>a[1]) {max=a[0];min=a[1];} else{max=a[1];min=a[0];}for(int i=2;i<a.length;i+=2){//从第三个元素开始成对向后循环，直到结束if(a[i]>a[i+1])Swap(a,i,i+1);if(a[i]<min)min=a[i];if(a[i+1]>max)max=a[i+1];}}}//交换函数，事项数组中两个i，j位置元素互换void Swap(int a[],int j,int i){int m;m=a[i];a[i]=a[j];a[j]=m;}public static void main(String[] args) {int a[]={3,2,65,6,8,6};MinAMax text=new MinAMax();text.MaxMin(a);System.out.println("最大值为："+text.max);System.out.println("最小值为："+text.min);}
}

结果：

2.一般情况：
主要是分治思想
用到了快排的随机key值的分区方法：

这个方法的时间复杂度仅为O(n);
方法代码：

 /*查找第i大元素方法参数：a：输入数组  p：开始位置  r：结束位置基本思想：用到分治思想*//*** 此方法返回数组中第i小的元素* @param a 输入数组* @param start 开始索引* @param end 结束索引* @param i 规定输出第i小元素* @return*/public int RandonMized_select(int[] a, int start, int end, int i) {if (start == end)return a[start];int keyIndex=Randomized_partition(a, start, end);//        for (int n:a){//            System.out.print(n+" ");
//        }int k=keyIndex-start+1;//System.out.println("["+a[k]+"]");if(i==k){return a[keyIndex];}else if(i<k){return RandonMized_select(a, start,keyIndex-1,i);}else {return RandonMized_select(a, keyIndex + 1, end, i - k);}}//快排一次过程int partition(int[] a, int start, int end) {int key=a[end];int i=start-1;for(int j = start; j<end;j++) {if(a[j]<=key) {i=i+1;Swap(a,i,j);}}Swap(a,i+1, end);return i+1;}//随机产生key值进行一次快排分区int Randomized_partition(int[] a, int start, int end){int i = (int)(Math.random() * (end));if(i<start){i=start;}Swap(a,end,i);return partition(a,start,end);}

测试代码：

public class MinAMax {int max;int min;public static void main(String[] args) {int a[]={3,2,65,6,8,9,7};MinAMax text=new MinAMax();int target=text.RandonMized_select(a,0,a.length-1,4);//在一个数组的0到a.length位置区域中找第4大的元素 System.out.println(target);

结果如下: