2.石头游戏（坑爹）

题目抽象：

一堆石子两个人轮流取，每次至少要取走一个。先取的人第一次可以取任意多个，但是不能全部取完。之后每个人取石子时，能取的数目最多不能超过对手刚才取的石子数的k倍（k为给定常量）。取走最后一个石子的人算赢。

在两个人都以最优策略进行游戏时，先手要么必胜要么必负，必胜还是必负取决于一开始有多少个石子，本题就是告诉你开始的石子数目，你需要判断先手必胜还是先手必负，然后对先手必胜的情况，要算出先手一方第一次至少需要取多少颗石子。

解题思路：

首先根据提示我们可以知道先手负的局面都是一些特殊局面，并且数量远少于先手胜的局面，因此分析主要针对先手负的局面进行，提示中的信息给了一个很好的入手点，我们先对k=1时的性质进行分析：

先手负的初始石子数序列为{1,2,4,8，...},通过观察规模比较小的数据不难发现，若初始石子数n不是2的幂，则取石子数最少的必胜走法恰是n用二进制表示时最后一个1所代表的数值，比如n用二进制数表示是11011010时，必胜取法为2（10）。先手取走这“最后一个1”之后，由于k=1，后手取的石子数至多和先手一样多，所以后手无法取走剩下的石子中的“最后一个1”，假如我们能证明后手取完之后先手仍然能取走剩下石子中的“最后一个1”，那么我们就证明了只要一直取走“最后一个1”，先手就能够保证取胜。事实上对于2^p以及任意一个满足x<2^p的正整数x，2^p-x用二进制表示时的“最后一个1”代表的数值必然不大于x，于是，只要有一方无法取完当前石子数的“最后一个1”，另一方就一定可以取走剩下石子数的“最后一个1”，因此，在初始石子为2的幂时，先手无法取走“最后一个1”（第一次无法取走全部石子），胜利就属于对方啦，而只要初始石子数不是2的幂，先手就能保证胜利。

然后分析k=2时的情形：

先手负的初始石子数序列为{1,2,3,5,8,13,21，...},正好是Fibonacci数列，而观察小规模数据可以发现，先手取胜时取走的最少石子数也是Fibonacci数列中的数。对于Fibonacci数列，有以下性质：

性质1：任何一个正整数都可以分解为Fibonacci数列中一些不相邻的数的和，且分解方法唯一。且这些数{fk1,fk2,...fkt}满足2fk1<fk2,2fk2<fk3,...2fk(t-1)<fkt。

例如：前1个数有1种取法，即：{1}

前2个数有2种取法，即：{1}，{2}

前3个数有4种取法，即：{1}，{2}，{3}，{1,3}

前4个数有7种取法，即：{1}，{2}，{3}，{1,3}，{5}，{5,1}，{5,2}

前n个数的取法为：<前n-1个数的所有取法>，{fn}，{fn+<前n-2个数的所有取法>}

性质2：k=2时，如果初始石子数n不是Fibonacci数，则可以把n分解为一些不相邻的Fibonacci数的和，在该分解方案里的最小的数，即是取石子数最少的获胜方法。

#include<stdio.h>

#define MAXM 1000000

int n,k;

int a[MAXM+1];//记录Fibonacci数列的前几个数

int r[MAXM+1];//记录上述前几个数的至多取法

void Solve()//优秀的男人总是坚持到了最关键的一个函数

{

int i,j;

a[0]=0;

r[0]=0;

for(i=1,j=0;i<MAXM;i++)//首先由于a数组记录的是Fibonacci数列中的数值，所以初始下标应该为1，而这里j为0的原因一是由于后期有循环函数可以使得其变为i-2的情况，因为我们发现r(n)=r(n-1)+1+r(n-2)，所以这里的j应该满足i-2,但是一开始在i=1,2时j不存在，所以一开始设置为0，不影响i=1,2这两种情况

{

a[i]=r[i-1]+1;//这里也是直接观察前面的性质1得到的

while(j+1<i&&a[j+1]*k<a[i])//这里是一个很厉害的设计，如果只满足j+1<i的话，那么在a[2]时，j就会变为1，后面进行r[i]=a[i]+r[j]就会出错，所以这里又要求a[j+1]*k<a[i]，这样就能避免i=1,2时j已经发生改变。其实也不用那么麻烦要限制两个条件，直接用a[j+1]*k<a[i]就可以了

{

j++;//使j变为i-2

}

r[i]=a[i]+r[j];//这里也是由性质一的来推导出来，其实就是r(n)=r(n-1)+1+r(n-2)

if(a[i]>=n) break;//对a数组的要求只要达到Fibonacci数列中的某一个数就行，这个数必须大于或者等于此时石子数

}

if(i>MAXM)//避免石子数太多，这样就不好玩了

{

printf("un solvable\n");//就是吊，老子不玩了

return;

}

if (a[i]=n)//如果石子数刚好满足Fibonacci数列中的数的话，那没办法了，先手必输

{

printf("lose\n");

return;

}

for(;i>=1;i--)//进行到这一步时就说明此时的a[i]>n的，也就是先手必胜，所以按从大到小的顺序从n中减去Fibonacci数列中<n的数直到出现结果与Fibonacci数列中的数相等，就输出此时的n值，也就是先手胜时第一手应该取出多少石子

{

if(n==a[i])//这就是最后一步，通过下面的相减，得到结果与Fibonacci数列中的数相等，也就是先手胜时第一手应该取出多少石子

{

printf("%d\n",n);

return;

}

else if (n>a[i])//这里分别减去Fibonacci数列中小于n的值，直到后期满足n==a[i]

{

n-=a[i];

}

printf("logic error\n");//来自一种神秘的意外，莫名其妙的错误，编译器的错

}

int main()

{

int ca,cc=0;

scanf("%d",&ca);//总共进行多少次实验

while(ca-->0)

{

scanf("%d %d",&n,&k);//其中n表示石子数，k表示题目中给定常量

printf("Case %d:",++cc);

Solve();//这里进行先手必胜或者必负的判断，首先判断n是否在Fibonacci数列中，在的话，就先手必负，输出lose，否则，按从大到小的顺序从n中减去Fibonacci数列中<n的数直到出现结果与Fibonacci数列中的数相等，就输出此时的n值，也就是先手胜时第一手应该取出多少石子

}

return 0;

}

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