「学习笔记」回文树/回文自动机(Palindromic Tree)

引入

有时候题目要求一些这样的问题
1. 求以串 s s s 本质不同的回文串个数(即长度不同或长度相同且至少有一个字符不相同的字符串)
2. 求以位置i" role="presentation">iii结尾的回文串个数。

这时候使用Manacher显然有点力不从心，我们可以使用一种比较新颖的字符串处理工具回文树(Palindromic Tree)。

回文树的结构

回文树其实是由两棵树组成的森林，第一棵树的根节点是 odd o d d odd,第二棵树的根节点是 even e v e n even。每个森林中的节点其实是原串中的一个回文串。

每个节点保存以下信息：

len l e n len 表示当前节点代表的回文串的长度。特别的， lenodd=−1 l e n o d d = − 1 len_{odd}=-1, leneven=1 l e n e v e n = 1 len_{even}=1
fail f a i l fail 表示当前节点失配以后可能匹配的最长回文串(即当前节点的最长回文后缀)，特别的 failodd=odd f a i l o d d = o d d fail_{odd}=odd, faileven=even f a i l e v e n = e v e n fail_{even}=even
ch c h ch 表示当前节点的孩子，其中 cha c h a ch_a 表示在当前字符串前后接上字符 a a a所形成的新回文串。

示例:下图是字符串babbab" role="presentation">babbabbabbabbabbab的回文树(实线表示 ch c h ch,虚线表示 fail f a i l fail)

~~其实就是论文1里的图啦~~
不难看出 odd o d d odd的子树保存的都是奇数长度的回文串，而 even e v e n even的子树中保存的都是偶数长度的回文串。

回文树的构造

回文树的构造采用增量构造。
假设我们已经构造串 s s s的回文树。现在要求出在s" role="presentation">sss后添加字符 c c c的回文树。

定理：以新加入的字符为结尾的，且未在s" role="presentation">sss中出现的回文字符串最多有 1 1 1个，且必为新串的最长回文后缀。

所以只需要求出新串的最长回文后缀即可。不妨设原串s" role="presentation">sss的最长回文后缀为 si..|s| s i . . | s | s_{i..|s|}，那么只要 si−1=c s i − 1 = c s_{i-1}=c，则新串的最长回文后缀一定为 si−1..|s|+1 s i − 1.. | s | + 1 s_{i-1..|s|+1},否则转移到 failsi..|s| f a i l s i . . | s | fail_{s_{i..|s|}}，继续之前的操作。

如果新串的最长回文后缀没有在回文树中，则新建一个节点并找出它的 fail f a i l fail，方法同上面类似。

回文树的复杂度

可以证明一个串 s s s本质不同的回文串不超过|s|" role="presentation">|s||s||s|个，所以状态数为 O(|s|) O ( | s | ) O(|s|)。

而通过势能分析可以证明前文所述的方法时间复杂度为 O(|s|log∑) O ( | s | l o g ∑ ) O(|s|log\sum)(使用平衡树或c++中的map表示 ch c h ch)或 O(|s|) O ( | s | ) O(|s|)(使用数组表示 ch c h ch)。其中 ∑ ∑ \sum为字符集大小。

回文树的一些扩展

从前端插入([HDU5241]Victor and String)
前后端插入，删除字符
可持久化回文树

老实说，除了第一个我都不会~~我还是太菜了~~。但论文里有详细讲解。

模板题

[APIO2014]Palindrome

Description

考虑一个只包含小写字母的字符串 s s s,定义一个回文串的出现值为t" role="presentation">ttt在 s s s中的出现次数与其长度的乘积。求s" role="presentation">sss的所有回文字串中的最大出现值。

Solution

首先建出 s s s的回文树，定义vt=∑i=1|s|[t是s1..i的最长回文后缀]" role="presentation">vt=∑|s|i=1[t是s1..i的最长回文后缀]vt=∑i=1|s|[t是s1..i的最长回文后缀]v_t=\sum_{i=1}^{|s|} [t是s_{1..i}的最长回文后缀]。可以证明最终的出现次数就是所有儿子(包括自身) v v v值的和。那么只需要求出v" role="presentation">vvv即可。方法是每次添加一个字符进回文串时给新串的 v v v值+1" role="presentation">+1+1+1。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn = 300005;
int ch[maxn][26], f[maxn], v[maxn], l[maxn], n, la, tot;
char s[maxn];
long long ans;inline void add(int c, int n)
{int x = la;while(s[n - l[x] - 1] != s[n]) x = f[x];if(!ch[x][c]) {int v = ++tot, k = f[x]; l[v] = l[x] + 2;while(s[n - l[k] - 1] != s[n]) k = f[k];f[v] = ch[k][c]; ch[x][c] = v;}v[la = ch[x][c]]++; return;
}int main()
{freopen("palindrome.in", "r", stdin);freopen("palindrome.out", "w", stdout);scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1);l[++tot] = -1; f[0] = f[1] = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i) add(s[i] - 97, i);for(int i = tot; i; --i) ans = max(ans, 1ll * l[i] * v[i]), v[f[i]] += v[i];printf("%lld\n", ans);return 0;
}

参考资料：国家集训队2017论文集《回文树及其应用》——翁文涛。 ↩