位运算的应用和分治法在二进制中的应用

位运算应用口诀
清零取数要用与，某位置一可用或
若要取反和交换，轻轻松松用异或

移位运算
要点 1 它们都是双目运算符，两个运算分量都是整形，结果也是整形。
     2 "<<" 左移：右边空出的位上补0，左边的位将从字头挤掉，其值相当于乘2。
     3 ">>"右移：右边的位被挤掉。对于左边移出的空位，如果是正数则空位补0，若为负数，可能补0或补1，这取决于所用的计算机系统。
     4 ">>>"运算符，右边的位被挤掉，对于左边移出的空位一概补上0。

位运算符的应用 (源操作数s 掩码mask)
(1) 按位与-- &
1 清零特定位 (mask中特定位置0，其它位为1，s=s&mask)
2 取某数中指定位 (mask中特定位置1，其它位为0，s=s&mask)
(2) 按位或-- |
    常用来将源操作数某些位置1，其它位不变。 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s|mask)
(3) 位异或-- ^
1 使特定位的值取反 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s^mask)
2 不引入第三变量，交换两个变量的值 (设 a=a1,b=b1)
    目标           操作              操作后状态
a=a1^b1         a=a^b              a=a1^b1,b=b1
b=a1^b1^b1      b=a^b              a=a1^b1,b=a1
a=b1^a1^a1      a=a^b              a=b1,b=a1

即
a ^= b
b ^= a
b ^= b
这样3步,即可交换两个数字
且没有占用空间.

应用举例
(1) 判断int型变量a是奇数还是偶数
       a&1 = 0 偶数
       a&1 = 1 奇数
(2) 取int型变量a的第k位 (k=0,1,2……sizeof(int))，即a>>k&1   (先右移再与1)

(3) 将int型变量a的第k位清0，即a=a&~(1<<k) (10000 取反后为00001 )

(4) 将int型变量a的第k位置1，即a=a|(1<<k)

(5) int型变量循环左移k次，即a=a<<k|a>>16-k (设sizeof(int)=16)
(6) int型变量a循环右移k次，即a=a>>k|a<<16-k (设sizeof(int)=16)
(7)、整数的平均值
对于两个整数x,y，如果用 (x+y)/2 求平均值，会产生溢出，因为 x+y 可能会大于INT_MAX，但是我们知道它们的平均值是肯定不会溢出的，我们用如下算法：

int average(int x, int y)   //返回X、Y的平均值
{   return (x & y) + ( (x^y)>>1 );//x&y  取出x和y二进制都为 1 的所有位，这是x、y都为 1 的部分，因为相同，所以直接加就行了//x^y  x和y中有一个为 1 的所有位//后者是x为 1，y为 0的部分，以及y为 1，x为 0 的部分，两部分加起来除以2，然后跟前面的相加就可以了
}

(8)对于一个数 x >= 0，判断是不是2的幂。

boolean power2(int x)
{return ( (x&(x-1))==0) && (x!=0);
}

(9)不用temp交换两个整数

void swap(int x , int y)
{x ^= y;y ^= x;x ^= y;
}

(10)计算绝对值

//因为i为0或-1，所以减i即是要么加0要么加1
int my_abs(int a)    //正数的时候，比较好理解
{int i = a >> 31;   //负数的时候，右移数值位补进符号位，导致32个bit都是1，也就是-1，此时 i 为-1return ( (a ^ i) - i);   //与 -1 即0xFFFFFFFF异或就相当于取反，然后减去-1，就相当于加1，也就是取反加1,
}

(11)取模运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)
         a % (2^n) 等价于 a & (2^n - 1)
(12)乘法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)
         a * (2^n) 等价于 a<< n
(13)除法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)
         a / (2^n) 等价于 a>> n
        例: 12/8 == 12>>3
(14) a % 2 等价于 a & 1
(15) if (x == a)

x= b;
　　 else x= a;
　　等价于 x= a ^ b ^ x;
(16) x 的相反数表示为 (~x+1)
(17)输入2的n次方：1 << 19
(18)乘除2的倍数：千万不要用乘除法，非常拖效率。只要知道左移1位就是乘以2，右移1位就是除以2就行了。比如要算25 * 4，用25 << 2就好啦

实例

功能 | 示例 | 位运算
----------------------+---------------------------+--------------------
去掉最后一位 | (101101->10110) | x >> 1
在最后加一个0 | (101101->1011010) | x < < 1
在最后加一个1 | (101101->1011011) | x < < 1+1
把最后一位变成1 | (101100->101101) | x | 1
把最后一位变成0 | (101101->101100) | x | 1-1
最后一位取反 | (101101->101100) | x ^ 1
把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x | (1 < < (k-1))
把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x & ~ (1 < < (k-1))
右数第k位取反 | (101001->101101,k=3) | x ^ (1 < < (k-1))
取末三位 | (1101101->101) | x & 7
取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x & ((1 < < k)-1)

取右数第k位 | (1101101->1,k=4) | x >> (k-1) & 1

把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x | (1 < < k-1)
末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x ^ (1 < < k-1)
把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x & (x+1)
把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x | (x+1)
把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x | (x-1)
取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x ^ (x+1)) >> 1
去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x & (x ^ (x-1))
判断奇数 (x&1)==1
判断偶数 (x&1)==0

二进制中分治思想
分治算法很常用，下面介绍二进制中几个有意思的应用。
1、求二进制中1的个数

算法思路是先求得局部个数在整合：
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 0 1 | 1 0 | 0 0 | 0 1 |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 0 0 1 1 | 0 0 0 1 |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 0 0 0 0 0 1 0 0 |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+

① 第一次按1-bit划分，将成对相邻的两个1-bit相加即为每2-bit中'1'的个数。由于两位中'1'的个数最多为2所以2-bit可以表示；
② 按2-bit划分，相邻两个2-bit相加即为每4-bit中'1'的个数。同样不会溢出。
③ 按4-bit划分...
④ 最后就能得到整个二进制中'1'的个数。

以32位为例的代码如下，计算时间复杂度常数且不需临时变量。

int BitCount(int n)
{n=(n & 0x55555555) + ((n>>1) & 0x55555555);n=(n & 0x33333333) + ((n>>2) & 0x33333333);n=(n & 0x0f0f0f0f) + ((n>>4) & 0x0f0f0f0f);n=(n & 0x00ff00ff) + ((n>>8) & 0x00ff00ff);n=(n & 0x0000ffff) + ((n>>16) & 0x0000ffff);return n;
}

2、将二进制逆序

算法原理是先局部交换整合完成整体交换：
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 0 1 | 1 1 | 0 0 | 0 1 |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 1 1 0 1 | 0 1 0 0 |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 0 1 0 0 1 1 0 1 |
+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+

① 第一次按1-bit划分，将成对相邻的两个1-bit交换。
② 按2-bit划分，相邻两个2-bit交换。
③ 按4-bit划分...
④ 最后就能得到逆序二进制。

以32位为例的代码如下，计算时间复杂度常数且不需临时变量。

int BitReverse(int n)
{n=((n & 0x55555555)<<1) | ((n & 0xaaaaaaaa)>>1);n=((n & 0x33333333)<<2) | ((n & 0xcccccccc)>>2);n=((n & 0x0f0f0f0f)<<4) | ((n & 0xf0f0f0f0)>>4);n=((n & 0x00ff00ff)<<8) | ((n & 0xff00ff00)>>8);n=((n & 0x0000ffff)<<16) | ((n & 0xffff0000)>>16);return n;
}

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