markdown中插入数学公式

dollarmath

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希腊字母
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- 边框矩阵
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线性方程组
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标识

TeX and LaTeX math delimiters

Inline math: $...$ , will be rendered inline.
Display (block) math: $$...$$, will be rendered in block.

需要注意的是，CSDN markdown、vscode markdown内置预览插件等编辑器中，行内数学公式的美元符号前后均不能有空格，否则无法正常渲染。

在 vscode markdown preview enhanced 插件和 jupyter notebook markdwn cell 中，行内数学公式的美元符号前后有空格也能正常渲染。

Inline math equations are wrapped in single dollar signs.
- For example, $x^2$ becomes x2x^2x2.
- Pythagorean Theorem: $a^2 + b^2 = c^2$ : a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2.
- Einstein’s Theory of Special Relativity: e=mc^2: e=mc2e=mc^2e=mc2.
KaTeX blocks begin and end with two dollar signs:
- % comment 为注释行，不会被渲染展示。

$$
% Pythagorean Theorem
a^2 + b^2 = c^2 \\
% Einstein’s Theory of Special Relativity
e=mc^2
$$

a2+b2=c2e=mc2% % Pythagorean Theorem a^2 + b^2 = c^2 \\ % Einstein’s Theory of Special Relativity e=mc^2 a2+b2=c2e=mc2

$$
\begin{pmatrix}
a & b \cr
c & d
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
e & f \cr
g & h
\end{pmatrix}
$$

矩阵表达式：

(abcd)+(efgh)\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & f \cr g & h \end{pmatrix} (acbd)+(egfh)

空格

CSDN markdown、vscode markdown内置预览插件等编辑器中，行内数学公式的美元符号前后均不能有空格，否则不能正常渲染。

单个美元符号和双美元符号跨行公式块中的键盘空格将被忽略，如果想在公式中插入空格，需采用特殊符号。

无空格 $a b$ ：ababab
小空格，符号\,，aba\,bab
中空格，符号 \:，aba\:bab
大空格，符号 \ ，aba\ ba b
四空格 $a \qua b$ ：aba \quad bab
八空格 $a \qquad b$ ：aba \qquad bab

边界

点积符号为 \cdot，a和b的点积写成 $a\cdotb$ 将报错，因为反斜杠后面都将视作符号而解析失败。
此时，可在点积符号结束处插入空格 $a\cdot b$ ：a⋅ba\cdot ba⋅b。

另外一种思路是，将反斜杠符号整体加上大括号 $a{\cdot}b$ 则可正确解析为 a⋅ba{\cdot}ba⋅b（貌似更紧凑）。

如果要用多个字母作为上、下标（^、_），则可用大括号将多个字母括起来作为一个整体脚标使用。

修饰

\boxed{...} 支持将公式添加边框： $\boxed{e^{i\pi}+1=0}$ （eiπ+1=0\boxed{e^{i\pi}+1=0}eiπ+1=0）。
\color{color} formulae 支持指定后续公式的颜色： $\color{blue} F=ma$ （F=ma\color{blue} F=maF=ma）。
\textcolor{color} {formula} 支持指定后续大括号内的公式文本颜色： $\textcolor{blue}{F=ma}$ （F=ma\textcolor{blue}{F=ma}F=ma）。
\colorbox{color} {formula} 支持为后续大括号内的公式添加背景颜色： $\colorbox{yellow}{F=ma}$ （F=ma\colorbox{yellow}{F=ma}F=ma）。

括号

使用原始的小括号 ( ) 、中括号 [ ] 得到的大小是固定的。
由于大括号 {} 被用于分组，因此可以使用 \lbrace 和 \rbrace 来表示。
使用 \left( 或 \right) 可使括号大小与包裹其中的公式列高自动适应（适用于所有括号类型）。

标记	含义	示例
竖线	$\vert$ 、 $\mid$	a∣ba \vert ba∣b、a∣ba \mid ba∣b
闭合单竖线	$\lvert abs \rvert$	∣abs∣\lvert abs \rvert∣abs∣
闭合双竖线	$\lVert v \rVert$	∥v∥\lVert v \rVert∥v∥
尖括号	$\lang \rang$ 或 $\langle \rangle$	⟨a∣b⟩\lang a \vert b \rang⟨a∣b⟩ 或 ⟨a∣b⟩\langle a \mid b \rangle⟨a∣b⟩
大括号	$\lbrace \rbrace$	{1,2,3,4,…}\lbrace 1,2,3,4,\ldots \rbrace{1,2,3,4,…}

点号

符号	意义	示例
`\cdot` / `\sdot` / `\cdotp`	中点	c⃗=a⃗⋅b⃗\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}c=a⋅b
`\ldots` / `\dotsc` / `\dotso` / `\mathellipsis`	底端对齐的省略号	1,2,…,n1,2,\ldots,n1,2,…,n
`\cdots` / `\dots` / `\dotsb` / `\dotsi` / `\dotsm`	中线对齐的省略号	x12+x22+⋯+xn2x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2x12+x22+⋯+xn2
`\vdots`	竖直对齐的省略号	⋮\vdots⋮
`\ddots`	斜对齐(左上右下)的省略号	⋱\ddots⋱

$$f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2$$

f(x1,x2,…⏟ldots,xn)=x12+x22+⋯⏟cdots+xn2f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2f(x1,x2,ldots…,xn)=x12+x22+cdots⋯+xn2

下文中多元一次方程组的系数矩阵，即综合运用了中省略号、竖省略号和斜对齐省略号。

脚标

对数： $\log_xy$ （log⁡xy\log_xylogxy）、 $\log_216 = 4$ （log⁡216=4\log_216=4log216=4）
多项式中x的幂： $x^2$ （x2x^2x2）、 $x^{10}$ （x10x^{10}x10）、 $E=mc^2$ （E=mc2E=mc^2E=mc2）
下标序号： $x_i$ （xix_ixi）、 $x_{i+1}$ （xi+1x_{i+1}xi+1）、 $x_{ij}$ （xijx_{ij}xij）
同时存在上下标，先写上标（ $x^2_i$ ）或先写下标（ $x_i^2$ ），结果都为 xi2x_i^2xi2。

排列组合数可以写为 $C{^k_n}$ （CnkC{^k_n}Cnk）或 $C{k \atop n}$ （CknC{k \atop n}Cnk）
inner product: $\lt x \vert y \gt = x^Ty$ （<x∣y>=xTy\lt x \vert y \gt = x^Ty<x∣y>=xTy）
outer product: $\lvert x \gt \lt y \rvert =xy^T$ （∣x><y∣=xyT\lvert x \gt \lt y \rvert =xy^T∣x><y∣=xyT）
圆面积： $S=\pi{r^2}$ （S=πr2S=\pi{r^2}S=πr2）；圆球面积： $S=4πr^2$ （S=4πr2S=4πr^2S=4πr2）；圆球体积： $V_3＝\frac{4{\pi}r^3}{3}$ （V3＝4πr33V_3＝\frac{4{\pi}r^3}{3}V3＝34πr3）。
欧拉公式： $e^{i\theta} = \cos\theta + i·\sin\theta$ （eiθ=cos⁡θ+i⋅sin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i·\sin\thetaeiθ=cosθ+i⋅sinθ）、 $e^{i\pi}+1=0$ （eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0eiπ+1=0）。

注意：若要用多个字母作为脚标，则需要用大括号将多个字母括起来作为整体脚标。

如果不加大括号，则符号（^、_）只会将紧邻其后第一个字母视作脚标，后续字母将渲染为普通字母： $x^10$ （x10x^10x10）、 $x_ij$ （xijx_ijxij）。

分数

$\frac md$ 表示分式 md\frac mddm，第一个字母是分子，第二个字母是分母。

用大括号将复合分子、分母括起来：\frac{5}{3\times{5}}：53×5\frac{5}{3\times{5}}3×55

也可使用大括号内的 \over 实现： ${a+1 \over b+1}$ ：a+1b+1{a+1 \over b+1}b+1a+1

分数幂及等效的开方表示： $x^{\frac 1n} = \sqrt[n]{x}$ （x1n=xnx^{\frac 1n} = \sqrt[n]{x}xn1=nx）

组合数： ${n+1 \choose 2k}$ 或 $\binom{n+1}{2k}$ ：Cnk=(kn)=n!k!(n−k)!C{^k_n} = {k \choose n} = \frac{n!}{k!(n-k)!}Cnk=(nk)=k!(n−k)!n!

TeX expr: $C{^k_n} = {k \choose n} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

极限

$\lim_{x\to 0}lnx$ 显示为 lim⁡x→0lnx\lim_{x\to 0}lnxlimx→0lnx。

自然底数 e 的定义式：e=lim⁡n→+∞(1+1n)n=lim⁡n→+∞(1+100%n)ne = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%}{n})^ne=limn→+∞(1+n1)n=limn→+∞(1+n100%)n

TeX expr: $e = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%}{n})^n$

假设增长率为虚数是否成立：ei=lim⁡n→+∞(1+100%⋅in)ne^i = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%·i}{n})^nei=limn→+∞(1+n100%⋅i)n ？

TeX expr: $e^i = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%·i}{n})^n$

希腊字母

小写希腊字母：例如 $\gamma$ 显示为 γ\gammaγ， $\phi$ （ϕ\phiϕ）。
大写希腊字母：首字母大写，例如 $\Gamma$ 显示为 Γ\GammaΓ， $\Phi$ （Φ\PhiΦ）。
斜体希腊字母：加上 var 前缀，例如 $\varGamma$ ，显示为 Γ\varGammaΓ， $\varphi$ （φ\varphiφ）。

参考希腊字母读音和数学符号及读法大全。

顶部符号

顶部点： $\dot x$ : x˙\dot xx˙
顶部两点： $\ddot x$ : x¨\ddot xx¨
顶部竖点： $\dot {\dot x}$ : x˙˙\dot {\dot x}x˙˙
顶部横线 $\overline x$ : x‾\overline xx；底部下划线 $\underline{x}$ ：x‾\underline{x}x
用 \vec{a} 表示矢量 a： $\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ：c⃗=a⃗⋅b⃗\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}c=a⋅b
用 \overrightarrow{a} 长箭头表示向量： $\overrightarrow{AB}$ ：AB→\overrightarrow{AB}AB
用 \hat x 表示尖帽： $\hat y=a\hat x+b$ ：y^=ax^+b\hat y=a\hat x+by^=ax^+b
多字符可以使用 $\widehat {xy}$ ：xy^\widehat {xy}xy

向量夹角

下面这段文字阐述了基于向量点积和模推导出向量夹角的过程，其中包括：

希腊字母：\theta（θ）、\beta（β）、\alpha（α）
正余弦三角函数符号：\cos、\sin
向量的模：双竖线 {\lVert}v{\rVert}
分式：\frac{m}{d}

向量 $v$ 和向量 $w$ 的夹角 $\theta$ 的余弦值 $\cos\theta = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}}$对于二维向量，设向量 $v$ 与 x 轴的夹角为 $\beta$，向量 $w$ 与 x 轴的夹角为 $\alpha$。
同方向上的单位向量 $u_v = \frac{v}{{\lVert}v{\rVert}} = (\cos\beta, \sin\beta)$, $u_w = \frac{w}{{\lVert}w{\rVert}} =(\cos\alpha, \sin\alpha)$
由余弦差角公式：$\cos\theta = \cos(\beta-\alpha)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha = u_v \cdot u_w = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}}$

向量 vvv 和向量 www 的夹角 θ\thetaθ 的余弦值 cos⁡θ=v⋅w∥v∥∥w∥\cos\theta = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}}cosθ=∥v∥∥w∥v⋅w

对于二维向量，设向量 vvv 与 x 轴的夹角为 β\betaβ，向量 www 与 x 轴的夹角为 α\alphaα。
同方向上的单位向量 uv=v∥v∥=(cos⁡β,sin⁡β)u_v = \frac{v}{{\lVert}v{\rVert}} = (\cos\beta, \sin\beta)uv=∥v∥v=(cosβ,sinβ), uw=w∥w∥=(cos⁡α,sin⁡α)u_w = \frac{w}{{\lVert}w{\rVert}} =(\cos\alpha, \sin\alpha)uw=∥w∥w=(cosα,sinα)
由余弦差角公式：cos⁡θ=cos⁡(β−α)=cos⁡βcos⁡α+sin⁡βsin⁡α=uv⋅uw=v⋅w∥v∥∥w∥\cos\theta = \cos(\beta-\alpha)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha = u_v \cdot u_w = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}}cosθ=cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=uv⋅uw=∥v∥∥w∥v⋅w

线性矩阵

{matrix} 标识无边框矩阵的开始和结束，每一行以 \\ 结尾，行间元素以 & 分隔。

行内矩阵：123456789\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}147258369

TeX expr: $\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}$

跨行矩阵：

\tag 标签支持对矩阵或方程组进行序号标记，行内公式不支持该标签！

$$\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{matrix} \tag{1}
$$

123456789(1)\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \tag{1} 147258369(1)

边框矩阵

教科书上一般习惯书写带有边框的矩阵。

中括号块： \left[、\right]

$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{matrix}\right]\tag{2}
$$

[123456789](2)\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] \tag{2} ⎣⎡147258369⎦⎤(2)

大括号块： \left{、\right}

$$\left\{\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{matrix}\right\}\tag{3}
$$

{123456789}(3)\left\{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right\} \tag{3} ⎩⎨⎧147258369⎭⎬⎫(3)

扩展标记

也可用下列词替换 matrix：

标记	含义	示意	示例
`pmatrix`	小括号边框	()	123456789\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}147258369
`bmatrix`	中括号边框	[]	[123456789]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}⎣⎡147258369⎦⎤
`Bmatrix`	大括号边框	{}	{123456789}\begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{Bmatrix}⎩⎨⎧147258369⎭⎬⎫
`vmatrix`	单竖线边框	\|\|	∣123456789∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣
`Vmatrix`	双竖线边框	‖‖	∥123456789∥\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{Vmatrix}∥∥∥∥∥∥147258369∥∥∥∥∥∥

分块阵列

需要借助以 {array} 起始和结束的阵列标识。

对齐方式：在 {array} 后的 {} 中逐列统一声明
左对齐：l；居中：c；右对齐：r
竖直线：在声明对齐方式时，| 表示在列之间插入竖直线
插入水平线：\hline

示例1：增广矩阵（enlarged, Augmented）

cc|c 表示三列居中对齐，第二列和第三列之间插入竖线分割。

$$
\left[
\begin{array}  {c c | c} %三列居中对齐，第二列和第三列之间插入竖线分割
1 & 2 & 3 \\ % 换行
4 & 5 & 6
\end{array}
\right]
$$

[123456]\left[ \begin{array} {c c | c} 1 & 2 & 3 \\ % 换行 4 & 5 & 6 \end{array} \right] [142536]

示例2：简易表格1

$$
\begin{array}{c|lll}
{↓}&{a}&{b}&{c}\\
\hline
{R_1}&{d}&{e}&{f}\\
{R_2}&{h}&{i}&{j}\\
\end{array}
$$

↓abcR1defR2hij\begin{array}{c|lll} {↓}&{a}&{b}&{c}\\ \hline {R_1}&{d}&{e}&{f}\\ {R_2}&{h}&{i}&{j}\\ \end{array} ↓R1R2adhbeicfj

示例3：简易表格2

c|lcr表示第一列居中对齐，然后插入竖线，后面三列分别左、中、右对齐。

$$
\begin{array}{c|lcr}
n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\
\hline
1 & 0.24 & 1 & 125 \\
2 & -1 & 189 & -8 \\
3 & -20 & 2000 & 1+10i \\
\end{array}
$$

nLeftCenterRight10.2411252−1189−83−2020001+10i\begin{array}{c|lcr} n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\ 2 & -1 & 189 & -8 \\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\ \end{array} n123Left0.24−1−20Center11892000Right125−81+10i

示例4：矩阵分块

shape 为 (2,2,4) 和 (2,4,2) 的3D矩阵，可以用2D数组表示，将纵深第三维用分块示意。

$x(2,2,4) = \left[ \begin{array}{cccc|cccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{00} & x_{01} \\ x_{10} & x_{11} \\ \end{bmatrix}$，每一块 $x_{ij}$ 代表第三维长度为4的向量。$y(2,4,2) = \left[ \begin{array}{cc|cc|cc|cc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{00} & y_{01} & y_{02} & y_{03} \\ y_{10} & y_{11} & y_{12} & y_{13} \\ \end{bmatrix}$，每一块 $y_{ij}$ 代表第三维长度为2的向量。

x(2,2,4)=[0123456789101112131415]=[x0x1]=[x00x01x10x11]x(2,2,4) = \left[ \begin{array}{cccc|cccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{00} & x_{01} \\ x_{10} & x_{11} \\ \end{bmatrix}x(2,2,4)=[0819210311412513614715]=[x0x1]=[x00x10x01x11]，每一块 xijx_{ij}xij 代表第三维长度为4的向量。

y(2,4,2)=[0123456789101112131415]=[y0y1]=[y00y01y02y03y10y11y12y13]y(2,4,2) = \left[ \begin{array}{cc|cc|cc|cc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{00} & y_{01} & y_{02} & y_{03} \\ y_{10} & y_{11} & y_{12} & y_{13} \\ \end{bmatrix}y(2,4,2)=[0819210311412513614715]=[y0y1]=[y00y10y01y11y02y12y03y13]，每一块 yijy_{ij}yij 代表第三维长度为2的向量。

3D数组（矩阵）z333z_{333}z333 的shape为(3,3,3)，用2D数组示意如下（分块为第三维平铺），这样方便看出其对角线矩阵。

$ z_{333} = \left[ \begin{array}{ccc|ccc|ccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ \hline 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ \end{array} \right] $，diag = $ \begin{bmatrix} 0 & 12 & 24 \\ 1 & 13 & 25 \\ 2 & 14 & 26 \\ \end{bmatrix} $

z333=[01234567891011121314151617181920212223242526]z_{333} = \left[ \begin{array}{ccc|ccc|ccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ \hline 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ \end{array} \right]z333=⎣⎡09181101921120312214132251423615247162581726⎦⎤，diag = [012241132521426]\begin{bmatrix} 0 & 12 & 24 \\ 1 & 13 & 25 \\ 2 & 14 & 26 \\ \end{bmatrix}⎣⎡012121314242526⎦⎤

线性方程组

这里借助左大括号块和 {array} 分组表达式来书写方程组：

$$
\left \{
\begin{array}{c}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right.
$$

{a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3\left \{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{array} \right. ⎩⎨⎧a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3

线性方程组对应的矩阵表达式（Matrix equation）： Ax=bAx = bAx=b

二元一次方程组

二元一次方程组：{x−2y=13x+2y=11\left\{ \begin{array}{c} x - 2y = 1 \\ 3x + 2y = 11 \end{array} \right.{x−2y=13x+2y=11

TeX expr： $\left\{ \begin{array}{c} x - 2y = 1 \\ 3x + 2y = 11 \end{array} \right.$

向量线性组合的形式如下（column picture）：

$x \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$ + $y \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$

x[13]x \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}x[13] + y[−22]y \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ \end{bmatrix}y[−22] = [111]\begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}[111]

矩阵乘向量的形式如下（Matrix times Vector）：

$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$

[1−232]\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}[13−22] [xy]\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}[xy] = [111]\begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}[111]

系数矩阵（Coefficient matrix）A=[1−232]A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}A=[13−22]，结果矩阵 b=[111]b = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}b=[111]。

注意：这里的 b 需要表示成标准的2D column vector。

使用 numpy.linalg 包的 solve 函数 x = np.linalg.solve(A,b) 即可求解出 x=[31]x = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ \end{bmatrix}x=[31]。

三元一次方程组

以 {cases} 标识书写方程组：

$$\begin{cases}
2x+1y+(-2)z=-3\\
3x+0y+1z=5\\
1x+1y+(-1)z=-2\\
\end{cases}
$$

{2x+1y+(−2)z=−33x+0y+1z=51x+1y+(−1)z=−2\begin{cases} 2x+1y+(-2)z=-3\\ 3x+0y+1z=5\\ 1x+1y+(-1)z=-2\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧2x+1y+(−2)z=−33x+0y+1z=51x+1y+(−1)z=−2

向量线性组合的形式如下（column picture）：

$x \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ + $y \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ + $z \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$

x[231]x \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{bmatrix}x⎣⎡231⎦⎤ + y[101]y \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}y⎣⎡101⎦⎤ + z[−21−1]z \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}z⎣⎡−21−1⎦⎤ = [−35−2]\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}⎣⎡−35−2⎦⎤

矩阵乘向量的形式如下（Matrix times Vector）：

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$

[21−230111−1]\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}⎣⎡231101−21−1⎦⎤ [xyz]\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}⎣⎡xyz⎦⎤ = [−35−2]\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}⎣⎡−35−2⎦⎤

系数矩阵（Coefficient matrix）A=[21−230111−1]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}A=⎣⎡231101−21−1⎦⎤，结果矩阵 b=[−35−2]b = \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}b=⎣⎡−35−2⎦⎤。

条件表达式

在定义分段函数时，经常需要分情况给出表达式，此时可使用 \begin{cases}…\end{cases} 。

使用 \\ 来分行（分类）；
使用 & 指示需要对齐的位置；

以下定义了分段函数：

$$
% abs
f(x)=
\begin{cases}-x, & x<0 \\x, & x \ge 0
\end{cases}
$$$$
% i^n
f(n) =
\begin{cases}
1, &n=4k, k\in\mathbb{Z} \\
i, &n=4k+1, k\in\mathbb{Z} \\
-1, &n=4k+2, k\in\Bbb{Z} \\
-i, &n=4k+3, k\in\Bbb{Z}
\end{cases}
$$

f(x)={−x,x<0x,x≥0% abs f(x)= \begin{cases} -x, & x<0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases} f(x)={−x,x,x<0x≥0

f(n)={1,n=4k,∀k∈Zi,n=4k+1,∀k∈Z−1,n=4k+2,∀k∈Z−i,n=4k+3,∀k∈Z% i^n f(n) = \begin{cases} 1, &n=4k, \forall k\in\mathbb{Z} \\ i, &n=4k+1, \forall k\in\mathbb{Z} \\ -1, &n=4k+2, \forall k\in\Bbb{Z} \\ -i, &n=4k+3, \forall k\in\Bbb{Z} \end{cases} f(n)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧1,i,−1,−i,n=4k,∀k∈Zn=4k+1,∀k∈Zn=4k+2,∀k∈Zn=4k+3,∀k∈Z

也可基于分段表达式撰写方程组：

$$
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=0 \\
\qquad \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0 \\
\end{cases}
$$

{a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0⋮⋮⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=0\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=0 \\ \qquad \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0 \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0⋮⋮⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=0

系数矩阵（Coefficient matrix）表示如下，综合运用了中省略号、竖省略号和斜对齐省略号。

$$
\left[
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{matrix}
\right]
$$

[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn]\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤

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