测度定义_Real analysis：外测度的一个等价定义

根据stein的real analysis对外测度的定义，我们有：

Def：设E为

的任意子集，E的外测度定义为

这里的方块其实就相当于现实中的一把尺子，用它来衡量一些不规则物体的体积等等。

接下来我们介绍今天的主题，一个比较基础的关于外测度的定义的等价性。根据上述外测度定义，我们思考：能否用闭矩形来取代闭方块的定义?

于是开始我们的操作：

Ex:设

，按照如下方式定义E外侧度

求证：

证明：我们先证

：

由题设知，我们有

。

我们总能找到一列闭方块来覆盖每一个

,且这样的一列方块不太大。

即：

这样，我们有

由

的定义，就有

令ε->0，再对两边取下确界，得

然后我们再来证明

：

由定义：

由于闭方块一定是闭矩形，那么

的定义是包含于

的。按定义取的下确界，于是当然有

综上：我们有定义等价，即

到这里我们就证明到这个等价定义的正确性。当然我们是否会在此时思考：

能否有开方块，开矩形，或者更进一步，关于球的等价定义？欢迎大家评论区进行讨论或者给出证明。（另：这个证明纯属个人给出，若大家觉得这个证明不严谨或者有漏洞，也请评论区大家能指正，感谢！）

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