常微分方程和常微分方程组的求解

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一、实验目的：

熟悉Matlab软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握利用Matlab软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。

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二、相关知识

在MATLAB中，由函数dsolve()解决常微分方程(组)的求解问题，其具体格式如下：

X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)

函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。

例1：求解常微分方程的MATLAB程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')，注意，系统缺省的自变量为t，因此这里要把自变量写明。

结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1

其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X。

例2：求解常微分方程的MATLAB程序为：Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’)

结果为：

Y2 =[ exp((x+C2)/C1)]

[ C2]

我们看到有两个解，其中一个是常数。

例3：求常微分方程组通解的MATLAB程序为：

[X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t')

例4：求常微分方程组通解的MATLAB程序为：

[X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0')

以上这些都是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解。但是，我们知道，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为：

[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)

该函数表示在区间tspan=[t0,tf]上，用初始条件y0求解显式常微分方程。

solver为命令ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb之一，这些命令各有特点。我们列表说明如下：

求解器

ODE类型

特点

说明

ode45

非刚性

一步算法，4,5阶Runge-Kutta

方法累积截断误差

大部分场合的首选算法

ode23

非刚性

一步算法，2,3阶Runge-Kutta

方法累积截断误差

使用于精度较低的情形

ode113

非刚性

多步法，Adams算法，高低精度均可达到

计算时间比ode45短

ode23t

适度刚性

采用梯形算法

适度刚性情形

ode15s

刚性

多步法，Gear’s反向

数值积分，精度中等

若ode45失效时，

可尝试使用

ode23s

刚性

一步法，2阶Rosebrock算法，

低精度。

当精度较低时，

计算时间比ode15s短

odefun为显式常微分方程中的

tspan为求解区间，要获得问题在其他指定点上的解，则令(要求单调)，

y0初始条件。

例5：求解常微分方程，，的MATLAB程序如下：fun=inline('-2*y+2*x*x+2*x')；[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1)

结果为：

x = 0,0.0400,0.0900,0.1400,0.1900,0.2400,0.2900,0.3400,0.3900,0.4400,0.4900,0.5000

y = 1.0000,0.9247,0.8434,0.7754,0.7199,0.6764,0.6440,0.6222,0.6105,0.6084,0.6154,0.6179

例6：求解常微分方程的解，并画出解的图形。

分析：这是一个二阶非线性方程，用现成的方法均不能求解，但我们可以通过下面的变换，将二阶方程化为一阶方程组，即可求解。

令：，，，则得到：

接着，编写vdp.m如下：

function fy=vdp(t,x)

fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];

再编写m文件sy12_6.m如下：

y0=[1;0]

[t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0);

y=x(:,1);dy=x(:,2);

plot(t,y,t,dy)

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三、实验内容

1．利用MATLAB求常微分方程的初值问题，的解。

2．利用MATLAB求常微分方程的初值问题，，的解。

3．利用MATLAB求常微分方程的解。

4．利用MATLAB求常微分方程组的特解。

5．求解常微分方程，，，的特解，并做出解函数的曲线图。

6．完成实验报告。