【每日一题】Steps to One （容斥+错位相减）cf1139D

题目链接
前置推论：
1.长度为1的序列只可能是一个1。
2.假设当前的序列长度为 k + 1 k+1 k+1，且前 k k k个数的 g c d = a gcd=a gcd=a不为1的话，那么第 k + 1 k+1 k+1位的数必然与a互质，所以第 k + 1 k+1 k+1个数选择的方案为[1,m]中与a互质的数的个数,记 g e t ( a ) get(a) get(a)为 [ 1 , m ] [1,m] [1,m]中与a互质的数的个数， g e t ( x ) get(x) get(x)可以通过容斥计算。
那么我们需要统计的就是所有长度>=2的期望。
我们从大到小遍历 [ 1 , m ] [1,m] [1,m]，设当前枚举到的数为x，我们计算所有长度为 i + 1 ≥ 2 i+1\geq2 i+1≥2且序列的前i项的 g c d gcd gcd为x的期望，那么可以前i项必然都是x的倍数，显然通过求和我们可以得到一个较大的答案

∑ i = 1 ∞ ⌊ m x ⌋ i g e t ( x ) m ( i + 1 ) \sum_{i=1}^{\infty}\lfloor\frac{m}{x}\rfloor^i\frac{get(x)}{m}(i+1) i=1∑∞⌊xm⌋imget(x)(i+1)
其中 g e t ( x ) m \frac{get(x)}{m} mget(x)为常数项可以拎出来单独计算，那么后面的 ∑ i = 1 ∞ ⌊ m x ⌋ i ( i + 1 ) \sum_{i=1}^{\infty}\lfloor\frac{m}{x}\rfloor^i(i+1) ∑i=1∞⌊xm⌋i(i+1)就是我们要求的，这样求和的东西就是高中常说的错位相减法搞一下就能算出来了。
但是为什么说这个答案较大呢？仔细想一下，这样生成的序列的前i项的gcd必然包含所有x的倍数。
设 P ( d x , d y ) P(dx,dy) P(dx,dy)为序列长度为dx且gcd为dy的概率
那么后半部分真正的答案就是

∑ i = 1 ∞ ( ⌊ m x ⌋ i − ∑ j = i + 1 m P ( i , j ) [ j % i = 0 ] ) ( i + 1 ) = ∑ i = 1 ∞ ⌊ m x ⌋ i ( i + 1 ) − ∑ j = x + 1 m ∑ i = 1 ∞ P ( i , j ) ( i + 1 ) [ j m o d x = 0 ] \sum_{i=1}^{\infty}(\lfloor\frac{m}{x}\rfloor^i-\sum_{j=i+1}^mP(i,j)[j\%i=0])(i+1)= \sum_{i=1}^\infty\lfloor\frac{m}{x}\rfloor^i(i+1)-\sum_{j=x+1}^m\sum_{i=1}^\infty P(i,j)(i+1)[j\mod x=0] i=1∑∞(⌊xm⌋i−j=i+1∑mP(i,j)[j%i=0])(i+1)=i=1∑∞⌊xm⌋i(i+1)−j=x+1∑mi=1∑∞P(i,j)(i+1)[jmodx=0]
我们设 a n [ c ] = ∑ i = 1 ∞ P ( i , c ) ( i + 1 ) an[c]=\sum_{i=1}^{\infty}P(i,c)(i+1) an[c]=∑i=1∞P(i,c)(i+1),那么 a n [ x ] = ∑ i = 1 ∞ ⌊ m x ⌋ i ( i + 1 ) − ∑ j = i + 1 m a n [ j ] [ j % i = 0 ] an[x]=\sum_{i=1}^{\infty}\lfloor\frac{m}{x}\rfloor^i(i+1)-\sum_{j=i+1}^man[j][j\% i=0] an[x]=∑i=1∞⌊xm⌋i(i+1)−∑j=i+1man[j][j%i=0],那么长度为i+1项且前i项的gcd为x的真正期望就是 a n [ x ] g e t ( x ) m an[x]\frac{get(x)}{m} an[x]mget(x)。
综上，对每个数进行讨论并计算答案即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
LL m;
const LL mod=1e9+7;
LL pm(LL x,LL y){LL z=1;while(y){if(y&1)z=z*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;}return z;
}
int a[N],p[N],cnt;
void P(){for(int i=2;i<N;i++){if(!p[i])a[++cnt]=i;for(int j=1;j<=cnt&&1ll*a[j]*i<N;j++){p[a[j]*i]=1;if(i%a[j]==0)break;}}
}
LL get(int y){vector<int>x;for(int i=1;i<=cnt&&1ll*a[i]*a[i]<=y;i++){if(y%a[i]==0){x.pb(a[i]);while(y%a[i]==0)y/=a[i];}}if(y>1)x.pb(y);int sz=x.size();int ans=m;for(int i=1;i<1<<sz;i++){int l=0,r=1;for(int j=0;j<sz;j++){if(1<<j&i){l++;r*=x[j];}}if(l&1)ans-=m/r;else ans+=m/r;}return ans;
}
LL _get(LL x){return (x*(m-x)+x*m)%mod*pm(1ll*(m-x)*(m-x)%mod,mod-2)%mod;
}
LL an[N];
int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin>>m;P();LL re_m=pm(m,mod-2);LL ans=re_m;for(int i=m;i>=2;i--){LL x=get(i);LL res=_get(m/i)%mod;for(int j=i+i;j<=m;j+=i)res-=an[j],res=(res+mod)%mod;an[i]=res;ans+=res*x%mod*re_m%mod;ans%=mod;}cout<<ans<<'\n';return 0;
}

【每日一题】Steps to One （容斥+错位相减）cf1139D相关推荐

高中数学数列错位相减压轴大题_错位相减法秒杀公式
错位相减法在数列求和部分属于高频考点,同学们大都会用,但是对结果总有些不确定.我们知道,等比数列前项和公式的推导方法用的是"错位相减法".在近几年的高考中,涉及到错位相减法的试题有 ...
hdu 5317 RGCDQ （2015多校第三场第2题）素数打表+前缀和相减求后缀（DP）
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5317 题意:F(x) 表示x的不同质因子的个数结果是求L,R区间中最大的gcd( F(i) , F(j ...
玲珑杯 1138 - 震惊，99%+的中国人都会算错的问题（容斥）
题目链接:http://www.ifrog.cc/acm/problem/1138 题解:这题就是简单的容斥,但是和标准的不太一样,这个是只加上出现奇数的.其实也是挺简单的. 容斥原式: 只 ...
HDU - 5468 Puzzled Elena （容斥/莫比乌斯）
做了好几个容斥了,一直找不到feel,这个做完在现在有一点感觉了.虽然刚开始也不会.但就是发现感觉不一样了. 首先,不考虑树的关系,单纯给出一个m,还有一个集合(里面数字任意),求集合里面跟m互质的数 ...
【笔记】郑州大学ACM实验室寒假新生培训之排列组合与容斥
>>b站视频链接<< 目录: OP 组合数和排列数组合数与杨辉三角 Lucas定理容斥原理错位排序 m球n盒问题多重集的r-组合数 ED OP \ 组合数和排列数对于 ...
[杂题训练]CF1228E Another Filling the Grid（容斥），CF936C Lock Puzzle（构造）
文章目录 T1:CF1228E Another Filling the Grid solution code T2:CF936C Lock Puzzle solution code T1:CF1228 ...
51nod1667-概率好题【容斥,组合数学】
正题题目链接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1667 题目大意两个人. 第一个人有k1k_1k1个集合,第iii个包 ...
【POJ - 1741】Tree（树分治，容斥，点分治，模板题）
题干: Give a tree with n vertices,each edge has a length(positive integer less than 1001). Define dist ...
吉首大学新星杯L题小李子的老年生活【容斥好题(只是问题比较裸)】
传送门 // 题意就是给定一个n, 求1 - n 中与n互质的数的平方和. // 思路: 问题我们可以进行转换, 就是我们得到1 - n的所有数的平方和, 然后我们要做的就是减去n的素数因子(不是素数 ...

【每日一题】Steps to One （容斥+错位相减）cf1139D

【每日一题】Steps to One （容斥+错位相减）cf1139D相关推荐

最新文章

热门文章