超大背包问题(折半枚举, 双向搜索)

有重量和价值分别为wi, vi (1 <= wi, vi <= 1e15)的n (1 <= n <= 40)个物品，从中挑选总重不超过W(1 <= W <= 1e15)的物品，求价值总和最大值。

这是典型的01背包问题，不过dp求解复杂度为O(nW)，这里W太大了，因此无法求解。挑选物品方法共有2^n种，也无法直接枚举。但是拆成两半再枚举的话还是可行的，每部分最多只有20个。假设第一部分某个选取方法对应的重量和价值为w1, v1，那么只要在第二部分中寻找w2+w1<=W且v2最大的方法就行了。寻找时可以用二分查找，总时间复杂度为O(2^(n/2)n)，可以接受。

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using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 50;
const LL INF = 0x3f3f3f3f;int n;
LL w[maxn], v[maxn];
LL W;
pair<LL, LL> ps[1<<(maxn/2)];   // (重量, 价值)void solve()
{//枚举前半部分int n2 = n / 2;for (int i = 0; i < (1<<n2); ++i){LL sw = 0, sv = 0;for (int j = 0; j < n2; ++j)if ((i >> j) & 1){sw += w[j];sv += v[j];}ps[i] = make_pair(sw, sv);}//去除多余的元素sort(ps, ps+(1<<n2));int m = 1;for (int i = 1; i < (1<<n2); ++i)if (ps[m-1].second < ps[i].second)ps[m++] = ps[i];//枚举后半部分并求解LL res = 0;for (int i = 0; i < (1<<(n-n2)); ++i){LL sw = 0, sv = 0;for (int j = 0; j < n-n2; ++j)if ((i >> j) & 1){sw += w[n2 + j];sv += v[n2 + j];}if (sw <= W){LL tv = (lower_bound(ps, ps + m, make_pair(W - sw, INF)) - 1)->second;res = max(res, sv+tv);}}printf("%lld\n", res);
}int main()
{while (~scanf("%d%lld", &n, &W)){for (int i = 0; i < n; ++i)scanf("%lld%lld", &w[i], &v[i]);solve();}return 0;
}/*
Sample Input
4 5
2 3
1 2
3 4
2 2
Sample Output
7
*/

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