关于样本量的快速证明

@(概率论)
设X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n为总体X的一个样本，EX=μ,DX=σ2<∞EX=\mu,DX = \sigma^2 , 求EX⎯⎯⎯,DX⎯⎯⎯,和ES2E\overline X,D\overline X,和ES^2

分析：这些是作为基本量掌握的。这里给出证明。
需要明确的是，样本序列中Xi,Xj,i≠jX_i,X_j, i\neq j是相互独立的。且EXi=EX,DXi=DXEX_i = EX, DX_i = DX

好比说从一大壶盐水中取出一小杯，那么这一小杯的含盐比例和大壶中的是一样的。即从整体中切掉一小块观察，期望和方差这些观察值都是一样的。但是，切掉的块之间期望可以想象是相同的，但是方差是衡量值的变动的，就将会有些许不同。
以此为基础，我们量化计算。

X⎯⎯⎯=1n∑ni=1Xi\overline X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i

所以,

EX⎯⎯⎯=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nEXi=μ;DX⎯⎯⎯=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nDXi=σ2n

E\overline X = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nEX_i = \mu; \\ D\overline X = D( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nDX_i = \frac{\sigma^2}{n}

为计算ES2ES^2,前期准备是求出：EX2i,EX⎯⎯⎯2EX_i^2,E\overline X^2

EX2i=DXi+(EXi)2=σ2+μ2EX_i^2 = DX_i + (EX_i)^2 = \sigma^2 + \mu^2
EX⎯⎯⎯2=DX⎯⎯⎯+(EX⎯⎯⎯)2=σ2n+μ2E\overline X^2 = D\overline X+ (E\overline X)^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2

S2=1n−1∑ni=1(Xi−X⎯⎯⎯)2S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2
从而，

ES2=E(1n−1∑i=1n(Xi−X⎯⎯⎯)2)=1n−1E(∑i=1n(Xi−X⎯⎯⎯)2)=1n−1E(∑i=1n(X2i−X⎯⎯⎯Xi+X⎯⎯⎯2))=1n−1E(∑i=1nX2i−nX⎯⎯⎯2)=1n−1(∑i=1nEX2i−nEX⎯⎯⎯2)=σ2

ES^2 = E(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2) = \frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2)\\ = \frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^n(X_i^2-\overline XX_i +\overline X^2)) \\ = \frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^nX_i^2-n\overline X^2) \\ = \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^nEX_i^2-nE\overline X^2) \\ = \sigma^2

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