问题描述

问题描述：已知两条线段P1P2和Q1Q2，判断P1P2和Q1Q2是否相交，若相交，求出交点。

两条线段的位置关系可以分为三类：有重合部分、无重合部分但有交点、无交点。

算法核心

算法的步骤如下：

1.快速排斥实验。

设以线段P1P2为对角线的矩形为R，设以线段Q1Q2为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，则两线段不相交。

所以P1P2和Q1Q2相交的必要条件是以他们为对角线的矩形相交，即：

min(p1.x,p2.x) <= max(q1.x,q2.x) &&
min(q1.x,q2.x) <= max(p1.x,p2.x) &&
min(p1.y,p2.y) <= max(q1.y,q2.y) &&
min(q1.y,q2.y) <= max(p1.y,p2.y);

2.跨立实验。

如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。
线段的跨立究竟是什么意思？向量的跨立是什么意思？

a、若P1P2跨立Q1Q2，则矢量(P1-Q1)和(P2-Q1)位于矢量(Q2-Q1)的两侧，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。

等价于
(Q1.x-P1.x,Q1.y-P1.y) × ( Q1.x-Q2.x,Q1.y-Q2.y ) * ( Q1.x-P2.x,Q1.y-P2.y ) × ( Q1.x-Q2.x,Q1.y-Q2.y ) < 0
等价于
((Q1.x-P1.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P1.y)*( Q1.x-Q2.x)) * ((Q1.x-P2.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P2.y)*(Q1.x-Q2.x)) < 0

b、若Q1Q2跨立P1P2，则矢量(Q1-P1)和(Q2-P1)位于矢量(P2-P1)的两侧，即( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( Q2 - P1 ) × ( P2 - P1 ) < 0。
等价于
(P1.x-Q1.x,P1.y-Q1.y) × ( P1.x-P2.x,P1.y-P2.y ) * ( P1.x-Q2.x,P1.y-Q2.y ) × ( P1.x-P2.x,P1.y-P2.y ) < 0
等价于
((P1.x-Q1.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q1.y)*(P1.x-P2.x)) * ((P1.x-Q2.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q2.y)*( P1.x-P2.x)) < 0

a和b两个不等式只要满足一个即可。

排斥实验和跨立实验的示例如下图所示。

代码

//跨立判断
bool isLineSegmentCross(const Point &P1,const Point &P2,const Point &Q1,const Point &Q2)
{if(((Q1.x-P1.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P1.y)*( Q1.x-Q2.x)) * ((Q1.x-P2.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P2.y)*(Q1.x-Q2.x)) < 0 ||((P1.x-Q1.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q1.y)*(P1.x-P2.x)) * ((P1.x-Q2.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q2.y)*( P1.x-P2.x)) < 0) return true;elsereturn false;
}

3.计算交点。

当判定两条线段相交后，可以进行交点的求解，求交点可以用平面几何方法，列点斜式方程来完成。但由于点斜式方程难以处理斜率为0的特殊情况，不方便求解。因而，参用向量法求解交点。

设交点为(x0,y0)，则下列方程组成立：

根据以上方程组，消除参数k1和k2，得到如下方程：

然后求解(x0,y0)，结果如下所示：

#include<stdio.h>
#define N 10002/**
算法适用于整形点，不适用于浮点型
**/typedef struct Point
{int x;int y;
}Point;double min(int x, int y)
{return x<y?x:y;
}double max(int x, int y)
{return x>y?x:y;
}//排斥实验
bool IsRectCross(const Point &p1,const Point &p2,const Point &q1,const Point &q2)
{bool ret = min(p1.x,p2.x) <= max(q1.x,q2.x)    &&min(q1.x,q2.x) <= max(p1.x,p2.x) &&min(p1.y,p2.y) <= max(q1.y,q2.y) &&min(q1.y,q2.y) <= max(p1.y,p2.y);return ret;
}/**这段代码不能得到正确答案，故注释
//跨立判断
bool IsLineSegmentCross(const Point &pFirst1,const Point &pFirst2,const Point &pSecond1,const Point &pSecond2)
{long line1,line2;line1 = pFirst1.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond1.y) +pSecond1.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);line2 = pFirst1.x * (pSecond2.y - pFirst2.y) +pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) + pSecond2.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))return false;line1 = pSecond1.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) +pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst1.y) +pFirst1.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);line2 = pSecond1.x * (pFirst2.y - pSecond2.y) + pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +pFirst2.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))return false;return true;
}
**///跨立判断
bool IsLineSegmentCross(const Point &P1,const Point &P2,const Point &Q1,const Point &Q2)
{if(((Q1.x-P1.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P1.y)*( Q1.x-Q2.x)) * ((Q1.x-P2.x)*(Q1.y-Q2.y)-(Q1.y-P2.y)*(Q1.x-Q2.x)) < 0 ||((P1.x-Q1.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q1.y)*(P1.x-P2.x)) * ((P1.x-Q2.x)*(P1.y-P2.y)-(P1.y-Q2.y)*( P1.x-P2.x)) < 0) return true;elsereturn false;
}/**
求线段P1P2与Q1Q2的交点。
先进行快速排斥实验和跨立实验确定有交点再进行计算。
交点（x,y）使用引用返回。
没有验证过
**/
bool GetCrossPoint(const Point &p1,const Point &p2,const Point &q1,const Point &q2,long &x,long &y)
{if(IsRectCross(p1,p2,q1,q2)){if (IsLineSegmentCross(p1,p2,q1,q2)){//求交点long tmpLeft,tmpRight;tmpLeft = (q2.x - q1.x) * (p1.y - p2.y) - (p2.x - p1.x) * (q1.y - q2.y);tmpRight = (p1.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) * (q2.x - q1.x) + q1.x * (q2.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) - p1.x * (p2.y - p1.y) * (q2.x - q1.x);x = (int)((double)tmpRight/(double)tmpLeft);tmpLeft = (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) - (p2.y - p1.y) * (q1.x - q2.x);tmpRight = p2.y * (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) + (q2.x- p2.x) * (q2.y - q1.y) * (p1.y - p2.y) - q2.y * (q1.x - q2.x) * (p2.y - p1.y); y = (int)((double)tmpRight/(double)tmpLeft);return true;}}return false;
}

代码2-线段求交模板
http://www.cppblog.com/wicbnu/archive/2009/08/24/94225.html

#include <stdio.h>
#include <math.h>
const int N = 100010;
int mark[N];
struct Point
{double x,y;
};
struct stline
{Point a,b;
} line1,line2, p[N];int dblcmp(double a,double b)
{if (fabs(a-b)<=1E-6) return 0;if (a>b) return 1;else return -1;
}
//***************点积判点是否在线段上***************
double dot(double x1,double y1,double x2,double y2) //点积
{return x1*x2+y1*y2;
}int point_on_line(Point a,Point b,Point c) //求a点是不是在线段bc上，>0不在，=0与端点重合，<0在。
{return dblcmp(dot(b.x-a.x,b.y-a.y,c.x-a.x,c.y-a.y),0);
}
//**************************************************
double cross(double x1,double y1,double x2,double y2)
{return x1*y2-x2*y1;
}
double ab_cross_ac(Point a,Point b,Point c) //ab与ac的叉积
{return cross(b.x-a.x,b.y-a.y,c.x-a.x,c.y-a.y);
}
int ab_cross_cd (Point a,Point b,Point c,Point d) //求ab是否与cd相交，交点为p。1规范相交，0交点是一线段的端点，-1不相交。
{double s1,s2,s3,s4;int d1,d2,d3,d4;Point p;d1=dblcmp(s1=ab_cross_ac(a,b,c),0);d2=dblcmp(s2=ab_cross_ac(a,b,d),0);d3=dblcmp(s3=ab_cross_ac(c,d,a),0);d4=dblcmp(s4=ab_cross_ac(c,d,b),0);//如果规范相交则求交点if ((d1^d2)==-2 && (d3^d4)==-2){p.x=(c.x*s2-d.x*s1)/(s2-s1);p.y=(c.y*s2-d.y*s1)/(s2-s1);return 1;}//如果不规范相交if (d1==0 && point_on_line(c,a,b)<=0){p=c;return 0;}if (d2==0 && point_on_line(d,a,b)<=0){p=d;return 0;}if (d3==0 && point_on_line(a,c,d)<=0){p=a;return 0;}if (d4==0 && point_on_line(b,c,d)<=0){p=b;return 0;}
//如果不相交return -1;
}

Circuit Board

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1648
http://www.xuebuyuan.com/552687.html

进阶算法 Bentley-Ottmann 时间复杂度O(n^2)