猜数字大小（动态规划）

LeetCode每日一题（2021.11.12）【MID】

我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：
我从 1 到 n 之间选择一个数字。你来猜我选了哪个数字。
如果你猜到正确的数字，就会赢得游戏。
如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 更大或者更小 ，并且你需要继续猜数。每当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。如果你花光了钱，就会输掉游戏。

给你一个特定的数字 n ，返回能够 确保你获胜 的最小现金数，不管我选择那个数字。

示例 1：
输入：n = 10
输出：16
解释：制胜策略如下：

数字范围是 [1,10] 。假设先猜测数字为 7 。
- 如果这是我选中的数字，你的总费用为 0 。否则，你需要支付7 。
- 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。
- 假设你又猜测数字为 9 。
  - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 7 。否则，你需要支付 7+9 。
  - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 10 。
    这时你只需要猜测数字为 10 并赢得游戏，总费用为7 +9 = 16 。
  - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 8 。
    这时你只需要猜测数字为 8 并赢得游戏，总费用为7 +9 = 16 。
- 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。
  - 如果这是我选中的数字，你的总费用为7 。否则，你需要支付7+3 。
  - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。
  - 假设你猜测数字为 5 。
    - 如果这是我选中的数字，你的总费用为7 + 3 =10 。否则，你需要支付 7+3+5 。
    - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 6 。
    - 这时你只需要猜测数字为 6 并赢得游戏，总费用为7 + 3+ 5 = 15。
    - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 4 。
    - 这时你只需要猜测数字为 4 并赢得游戏，总费用为7 + 3+ 5 = 15。
  - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。
  - 假设你猜测数字为 1 。
    - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 7 + 3 = 10 。否则，你需要支付 7 + 3 + 1 。
    - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。
      这时你只需要猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为7 + 3+ 1 = 11。

因此，在最糟糕的情况下，你需要支付 16 。故你只需要 16 就可以确保自己一定可以赢得游戏。

示例 2：
输入：n = 1
输出：0
解释：只有一个可能的数字，所以你可以直接猜 1 并赢得游戏，无需支付任何费用。

示例 3：
输入：n = 2
输出：1
解释：有两个可能的数字 1 和 2 。

你可以先猜 1 。
- 如果这是我选中的数字，你的总费用为 0 。否则，你需要支付 1 。
- 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 1 。
  最糟糕的情况下，你需要支付 1 。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/guess-number-higher-or-lower-ii

动态规划。
假设 dp[i][j] 是你赢得 [i , j] 之间的猜数字游戏所需要的最小费用。则转化为求解 dp[1][n]。
不管谜底的数字为多少，假设你猜测的数字为 x

如果 x < 谜底： 则你需要在 [x+1 , j] 的区间内继续猜测。而这个区间你所需要的最小花费则为 dp[x+1][j]，总的花费则为 x + dp[x+1][j]
如果 x > 谜底： 则你需要在 [i , x-1] 的区间内继续猜测。而这个区间你所需要的最小花费则为 dp[i][x-1]，总的花费则为 x + dp[i][x-1]
如果x = 谜底： 则你需要的花费为 0.

那么你要想一定能赢得游戏，就需要满足这两种情况下，所需要的最大花费。即 max{x + dp[x+1][j] , x + dp[i][x-1]}
则要求解一定能赢得游戏的最小花费，就需要满足： min {max{x + dp[x+1][j] , x + dp[i][x-1]}}

对于 dp[i][j] 考虑边界：

如果 i > j 则区间没有意义，花费0。那么 dp[i][j] = 0
如果 i = j 则区间只包含1个数，猜测永远都会正确，花费也是0。那么dp[i][j] = 0
只有当 i < j 的时候才需要计算花费。

则状态转移方程为：
min ⁡ i ≤ x ≤ j { x + m a x { d p [ x + 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ x − 1 ] } } \min \limits_{i \leq\ x \leq\ j} \{ x + max\{ dp[x+1][j], dp[i][x-1]\}\} i≤ x≤ jmin{x+max{dp[x+1][j],dp[i][x−1]}}

class Solution:def getMoneyAmount(self, n: int) -> int:dp = []for _ in range(n+1):f = [0] * (n+1)dp = dp+[f]for i in range(n-1,0,-1): # 反向遍历。正向遍历会出错# eg：计算 dp[1][3]时，需要用到 dp[2][3]。而 dp[2][3]还没有计算过。for j in range(i+1,n+1):ans = 0for x in range(i,j):res = x + max(dp[x+1][j],dp[i][x-1])if x > i:dp[i][j] = min(res, ans)else:dp[i][j] = resans = dp[i][j]return dp[1][n]

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