三阶贝塞尔曲线拟合圆弧的一般公式

针对三阶贝塞尔曲线拟合圆弧，进行一般性的公式求解，可以表达如下图所示：

通过圆心O作出半径为1的圆弧A到D，作AB为和CD为圆弧的切线段，长度均为h。

这样，以A、B、C和D作为三阶贝塞尔曲线的控制点，求得使曲线的中点经过E时，对应的h。

根据贝塞尔曲线的知识，我们知道三阶贝塞尔曲线的参数方程如下，其中A、B、C、D为四个控制点坐标，P(t)表示曲线上的每一点。

根据贝塞尔曲线的对称性，不难想出E点在P(0.5)处，代入公式即可求得：

代入四个控制点坐标A，B，C和D，可以求解P(0.5)点坐标，并列出方程如下：

由正弦和余弦的倍角公式，可以进一步分解方程：

所以：

代入方程，可以得到：

结合平方和公式

化简方程，可以得到：

方程分别除以cos(θ/2)和sin(θ/2)，进一步化简可得：

可以发现针对x，y的两个方程，最后化简结果相同，也即两个方程可以使用相同的h值为：

这样，我们即求得针对三阶贝塞尔曲线拟合圆弧的一般性的公式。

例如，当θ取90度时，得到三阶贝塞尔曲线拟合1/4圆弧的系数h的值为：

又如，当θ取60度时，得到三阶贝塞尔曲线拟合1/6圆弧的系数h的值为：

下面针对θ取值30到270度时，构建的一个动画演示，可以看到贝塞尔曲线与园的重合度在角度比较小时比较高。

备注：h体现为AB和CD的长度。

感谢Grapher和GeoGebra软件，使得方便排版文章中使用的公式和曲线。

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