漫谈机器学习经典算法—增强学习与马尔科夫决策过程

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写在前面

现有的机器学习算法根据模型的学习过程大致可以分为四类：监督式学习，无监督式学习，半监督式学习和增强学习。

① 监督式学习：从标记好的训练数据中进行模型的训练，常用来做分类和回归，例如逻辑回归、反向神经网络；

② 无监督式学习：根据数据的特征直接对数据的结构和数值进行归纳，常用来做聚类，例如周知的K-均值，谱聚类；

③ 半监督式学习：根据部分标记的和部分没有标记的训练数据进行模型的学习，常用来做回归和分类；

④ 增强式学习：作为今天要讨论的主角，是机器学习中最酷的分支之一，其通过不断的试错、反馈进行学习，常用来做序列决策或者控制问题，算法例子有Q-Learning、TD-Learning（Tempora Difference Learning）。

增强学习和人类学习的机制非常相近，在实际应用中也有这很Cool的表现，如直升机自动飞行、各种通过增强学习实现的打败人类最强选手的棋牌博弈机器，包括最近非常火的DeepMind将深度学习和增强学习融合实现的玩Atari游戏的超强程序。下面将结合一个实例，从增强学习的数学本质——马尔科夫决策过程进行阐述。

一个栗子

下面是摘自《人工智能：一种现代方法》中的一个例子：

假设一个智能体处于下图（a）中所示的4x3的环境中。从初始状态开始，它需要每个时间选择一个行动（上、下、左、右）。在智能体到达标有+1或-1的目标状态时与环境的交互终止。如果环境是确定的，很容易得到一个解:[上，上，右，右，右]。可惜智能体的行动不是可靠的（类似现实中对机器人的控制不可能完全精确），环境不一定沿这个解发展。下图（b）是一个环境转移模型的示意，每一步行动以0.8的概率达到预期，0.2的概率会垂直于运动方向移动，撞到（a）图中黑色模块后会无法移动。两个终止状态分别有+1和-1的回报，其他状态有-0.4的回报。现在智能体要解决的是通过增强学习（不断的试错、反馈、学习）找到最优的策略（得到最大的回报）。

上述问题可以看作为一个马尔科夫决策过程，最终的目标是通过一步步决策使整体的回报函数期望最优。下面介绍马尔科夫决策过程。

马尔科夫决策过程

一个马尔科夫决策过程（Markov Decision Processes, MDP）有一个五个关键元素组成 {S,A,{Psa},γ,R} \{S,A,\{P_{sa}\},\gamma,R\},其中：

S S：表示状态集合，例如上例中4x3的每个环境{(i,j)|i=1,2,3,4,j=1,2,3}\{(i,j)|i=1,2,3,4,j=1,2,3\}。自动直升机系统中的所有可能的位置、方向等。

A A：表示一组动作集合，例如上例中的（上、下、左、右），自动直升机系统中的让飞机向前，向后等。

PsaP_{sa}：状态转移概率，表示在当前 s∈S s \in S状态下，通过执行动作 a∈A a \in A后转移到其他状态的概率分布。例如上例中， P(1,1)上 P_{(1,1) 上}表示智能体在状态(1,1)执行向上的动作后转移到状态(1,2)，(2,1)的概率分布。

γ∈[0,1) \gamma \in [0,1)：阻尼系数，表示的是随着时间的推移回报率的折扣。

R:S×A↦R R:S \times A \mapsto \mathbb{R}：回报函数，有时回报函数是只与 S S有关的函数，RR重写为 R:S↦R R:S \mapsto \mathbb{R}。相当于上例中对每个状态上赋予的回报值。

MDP的动态过程如下：智能体在状态 s0 s_{0}选择某个动作 a0∈A a_{0} \in A，智能体根据概率 Ps0a0 P_{s_{0}a_{0}}转移到状态 s1 s_{1}，然后执行动作 a1 a_{1}，…如此下去我们可以得到这样的过程：

s0⟶a0s1⟶a1s2⟶a2s3⟶a3⋅⋅⋅

s_{0} \stackrel{a_{0}}{\longrightarrow} s_{1} \stackrel{a_{1}}{\longrightarrow} s_{2} \stackrel{a_{2}}{\longrightarrow} s_{3} \stackrel{a_{3}}{\longrightarrow} ···

经过上面的转移路径，我们可以得到相应的回报函数和如下：

R(s0,a0)+γR(s1,a1)+γ2R(s2,a2)+⋅⋅⋅

R(s_{0},a_{0})+\gamma R(s_{1},a_{1})+\gamma^{2}R(s_{2},a_{2})+···

如果回报函数 R R只与SS有关，我们上式可重新写作

R(s0)+γR(s1)+γ2R(s2)+⋅⋅⋅

R(s_{0})+\gamma R(s_{1})+\gamma^{2}R(s_{2})+···

我们的目标是选择一组最佳的动作，使得全部的回报加权和期望最大：

Reward=E[R(s0)+γR(s1)+γ2R(s2)+⋅⋅⋅]

Reward=E[R(s_{0})+\gamma R(s_{1})+\gamma^{2}R(s_{2})+···]

从上式可以发现，在t时刻的回报值是被打了 γt \gamma^{t}倍折扣的，注意到 γ<1 \gamma ，则越靠后的状态对回报和影响越小，为了得到最大期望回报，智能体将会尽量最先拿最大回报。

下图是上述内容的一个直观示意

下一部分将对上述过程进行进一步数学表示，以方便求解。

进一步数学表示

首先我们来定义策略，一个策略 π \pi就是一个从状态到动作的映射函数 π:S↦A \pi:S \mapsto A。也就是，给定了当前状态 s s，根据策略π\pi，也就确定了下一步应该执行的动作 a=π(s) a=\pi(s)。

为每一个策略 π \pi我们顶一个相应的值函数（Value Function）

Vπ(s)=E[R(s0)+γR(s1)+γ2R(s2)+⋅⋅⋅|s0=s,π]

V^{\pi}(s)=E[R(s_{0})+\gamma R(s_{1})+\gamma^{2}R(s_{2})+···|s_{0}=s,\pi]

即给定初始状态 s0 s_{0}和策略 π \pi后的累积折扣回报期望（Expected Sum Of Discounted Rewards）。

对于一个固定的策略，它的值函数 Vπ V^{\pi}满足贝尔曼等式（Bellman Equations）：

Vπ(s)=R(s)+γ∑s′∈SPsπ(s)(s′)Vπ(s′)

V^{\pi}(s)=R(s)+\gamma \sum_{s' \in S}P_{s\pi(s)}(s')V^{\pi}(s')

其中 s′ s'表示状态 s s执行动作π(s)\pi(s)后的下一个可能状态，其服从 Psπ(s) P_{s\pi(s)}分布。上式由两部分构成：即时回报 R(s) R(s)及未来累积折扣回报期望 Es′∼Psπ(s)[Vπ(s′)] E_{s' \sim P_{s\pi(s)}}[V^{\pi}(s')]。

利用贝尔曼等式能够有效的解出 Vπ V^{\pi}（给定的策略 π \pi的回报值）。尤其，对于一个有限状态的MDP（ |S|<∞ |S| ），对每一个状态 s s我们都能写出这样的等式Vπ(s)V^{\pi}(s)，求解变为了解一个 |S| |S|个方程， |S| |S|个未知数的线性方程组。

当然，我们求解 Vπ V^{\pi}的目的是为找到一个当前状态 s s下最优的行动策略π\pi服务的（最优的策略下得到最优的值函数）。定义最优的值函数为：

V∗(s)=maxπVπ(s)

V^{*}(s)=\max_{\pi}V^{\pi}(s)

其贝尔曼等式的形式为：

V∗(s)=R(s)+maxa∈Aγ∑s′∈SPsa(s′)V∗(s′)

V^{*}(s)=R(s)+\max_{a \in A}\gamma\sum_{s' \in S}P_{sa}(s')V^{*}(s')

也可表示为增强学习中的Q函数形式：

V∗(s)=maxaQ(s,a)

V^{*}(s)=\max_{a}Q(s,a)

其中 Q(s,a)≡R(S)+γPsa(s′)V∗(s′) Q(s,a) \equiv R(S)+\gamma P_{sa}(s')V^{*}(s')，表示在 s s状态下执行动作aa作为第一个动作时的最大累计折扣回报。

对应最优值函数的最优的策略为：

π∗(s)=argmaxa∈A∑s′∈SPsa(s′)V∗(s′)

\pi^{*}(s)=arg\max_{a \in A}\sum_{s' \in S}P_{sa}(s')V^{*}(s')

需要注意的是， π∗ \pi^{*}有一个有趣的特性，即 π∗ \pi^{*}是针对的是所有的状态 s s的，确定了每一个状态ss的下一个动作 a a，不管初始状态是哪一个状态，通过策略π∗\pi^{*}都会取得最大回报。

现在我们有了优化目标的数学表达（最优值函数，最优策略），下一部分讨论两种求解方法（针对有限状态、有限动作的MDP）。

值迭代方法和策略迭代方法

值迭代方法

算法步骤：

1 讲每一个状态 s s的值函数V(s)V(s)初始化为0

2 循环直至收敛{

对于每一个状态 s s，对V(s)V(s)做更新

V(s):=R(s)+maxa∈Aγ∑s′V(s′) V(s):=R(s)+\max_{a \in A}\gamma\sum_{s'}V(s')

}

值迭代方法里面的内循环又有两种策略：同步迭代，异步迭代。同步迭代就是得到 V(s) V(s)后不立即更新，等所有的状态 s s的V(s)V(s)都完成计算后统一更新。异步迭代就是对每个状态 s s得到新的V(s)V(s)后立即更新。两种都会使得 V(s) V(s)收敛于 V∗(s) V^{*}(s)。求得最优的 V∗(s) V^{*}(s)后，可使用公式 π∗(s)=argmaxa∈A∑s′∈SPsa(s′)V∗(s′) \pi^{*}(s)=arg\max_{a \in A}\sum_{s' \in S}P_{sa}(s')V^{*}(s')来求出相应的最优策略 π∗ \pi^{*}。

策略迭代方法

于值迭代方法不同，策略迭代法之间关注 π \pi，使 π \pi收敛到 π∗ \pi^{*}。

算法步骤：

1 随机初始化话一个 S S到AA的映射 π \pi

2 循环直至收敛{

2.1 令 V:=Vπ V:=V^{\pi}

2.2 对每一个状态s,对 π(s) \pi(s)做更新

π(s):=argmaxa∈A∑s′Psa(s′)V(s′) \pi(s):=arg\max_{a \in A}\sum_{s'}P_{sa}(s')V(s')

}

其中2.1步即为上述对于一个给定策略 π \pi利用贝尔曼等式求解 Vπ V^{\pi}的过程（求解 |S| |S|个方程， |S| |S|个未知数的线性方程组）。

2.2是根据2.1步的结果，挑选出当前状态 s s下最优的动作aa来更新 π(s) \pi(s)。

两者比较

对于规模较小的MDP，策略迭代一般能够更快的收敛；但对于规模较大的MDP（状态多），值迭代更容易些（没有线性方程组的计算）。

MDP中的参数估计

到目前为止，我们讨论的MDP和MDP求解算法都是在已知状态转移概率 Psa P_{sa}和回报函数 R(s) R(s)的。在许多实际问题中，状态转移概率和回报函数不能显式的得到，本部分讲如何从数据中估计这些参数（通常 S,A,γ S,A,\gamma是已知的）。

假设我们已知很多条状态转移路径如下：

s(1)0⟶a(1)0s(1)1⟶a(1)1s(1)2⟶a(1)2s(1)3⟶a(1)3⋅⋅⋅

s_{0}^{(1)} \stackrel{a_{0}^{(1)}}{\longrightarrow} s_{1}^{(1)} \stackrel{a_{1}^{(1)}}{\longrightarrow} s_{2}^{(1)} \stackrel{a_{2}^{(1)}}{\longrightarrow} s_{3}^{(1)} \stackrel{a_{3}^{(1)}}{\longrightarrow} ···

s(2)0⟶a(2)0s(2)1⟶a(2)1s(2)2⟶a(2)2s(2)3⟶a(2)3⋅⋅⋅

s_{0}^{(2)} \stackrel{a_{0}^{(2)}}{\longrightarrow} s_{1}^{(2)} \stackrel{a_{1}^{(2)}}{\longrightarrow} s_{2}^{(2)} \stackrel{a_{2}^{(2)}}{\longrightarrow} s_{3}^{(2)} \stackrel{a_{3}^{(2)}}{\longrightarrow} ···

⋅⋅⋅

···

其中 s(j)i s_{i}^{(j)}是 i i时刻第jj条转移路径对应的状态， aji a_{i}^{j}是 sji s_{i}^{j}状态要执行的动作。每条转移路径中的状态数都是有限的，在实际操作中每个转移路径要么进入终结状态，要不达到规定的步数后终结。

当我们获得了很多类似上面的转移路径后（样本），我们可以用最大似然估计来估计状态转移概率。

Psa(s′)=#times took we action a in state s and got to s′#times we took action a in state s

P_{sa}(s')=\frac{\#times\ took\ we\ action\ a\ in\ state\ s\ and\ got\ to\ s'}{\#times\ we\ took\ action\ a\ in\ state\ s}

上式分子表示在状态 s s通过执行动作aa后到达状态 s′ s'的次数，分母表示在状态 s s我们执行动作的次数。为避免分母为0的情况，当分母为0使，令Psa(s′)=1|S|P_{sa}(s')=\frac{1}{|S|}。

对于未知的回报函数，我们令 R(s) R(s)为在状态 s s下观察到的回报均值。

得到状态转移概率和回报函数的估值后，就简化为了前面部分讲述的问题，用第三部分将的值迭代或者策略迭代方法即可解决。例如我们将值迭代和参数估计结合到一块：

算法流程如下：

1 随机初始化话一个SS到 A A的映射π\pi

2 循环直至收敛{

2.1 在MDP中执行策略 π \pi一定次数

2.2 通过2.1得到的样本估计 Psa P_{sa}（和 R R，需要的话）

2.3 使用上一节提到的值迭代方法和估计得到的参数来更新VV

2.4 对于得到的 V V更新得到更优的策略π\pi

}

其中2.3步，是一个循环迭代的过程。上一节中我们通过将 V V初始化为0然后进行迭代，当嵌套上述过程中后，如果每次都将VV初始化为0然后迭代更新，速度回很慢。一个加速的方法是将 V V初始化我上次大循环中得到的VV。

小结

至此我们讨论完了增强学习的数学本质————马尔科夫决策过程（MDP）的数学表示及求解过程（这里的MDP是非确定的MDP，即状态转移函数和回报函数是有概率的,，对于确定性的，求解会更简单些，感兴趣可参考[3]最后一章：增强学习）。全文很大部分是对Andrew Ng讲义[1]的翻译，加上了部分自己的理解。推荐大家根据参考文献进行进一步理解和学习。

参考文献

[1] 机器学习公开课-讲义-马尔科夫决策过程.Andrew Ng

[2] 机器学习公开课-视频-马尔科夫决策过程.Andrew Ng

[3] 人工智能：一种现代方法

[4] 机器学习.Tom M.Mitchell

[5] 看DeepMind如何用Reinforcement learning玩游戏