量子信息基础：预备知识

数学基础
- 向量空间和希尔伯特空间
- 狄拉克符号
- 内积、外积、张量积
测量基
量子比特
多量子比特
量子信息的量子力学基础
- 量子力学的基本假设
- 量子态叠加原理
- 测不准原理与非克隆原理
- 量子态的演化与幺正算符
量子纠缠
- 纯态与混合态
- 直积态与纠缠态
密度算符与约化密度矩阵

数学基础

向量空间和希尔伯特空间

希尔伯特空间是欧几里得空间的推广，不再局限于有限维的情形，即希尔伯特空间是无穷维的欧几里得空间。

狄拉克符号

量子力学中的一个量子态可以用希尔伯特空间中的一个矢量来标记，而力学量对应线性厄米算符。也就是说，量子态这个物理概念用数学中的矢量描述，而力学量这个物理概念用数学中的一个算符描述。狄拉克首先使用符号∣⟩\lvert\rang∣⟩ 来标记量子态，成为右矢。

内积、外积、张量积

1.内积
内积是向量空间上的二元复函数，两个向量∣v⟩\lvert v \rang∣v⟩和∣w⟩\lvert w \rang∣w⟩的内积在量子力学中的标准符号写成⟨v∣w⟩\lang v \lvert w \rang⟨v∣w⟩，将带有内积的向量空间称为内积空间。
若∣v⟩=[x1,x2,...,xn]T\lvert v \rang = [x_1,x_2,...,x_n]^T∣v⟩=[x1,x2,...,xn]T，∣w⟩=[y1,y2,...,yn]T\lvert w \rang = [y_1,y_2,...,y_n]^T∣w⟩=[y1,y2,...,yn]T，则⟨v∣w⟩\lang v \lvert w \rang⟨v∣w⟩表示CnC^nCn中的一个内积，即⟨v∣w⟩=[x1,x2,...,xn][y1,y2,...,yn]T\lang v \lvert w \rang = [x_1,x_2,...,x_n] [y_1,y_2,...,y_n]^T⟨v∣w⟩=[x1,x2,...,xn][y1,y2,...,yn]T。
如果内积为0，表示两个向量正交。向量∣v⟩\lvert v \rang∣v⟩的范数定义为∥∣v⟩∥=⟨v∣v⟩\Vert \lvert v \rang \Vert = \sqrt{\smash[b]{\lang v \lvert v \rang}}∥∣v⟩∥=⟨v∣v⟩。如果∥∣v⟩∥=1\Vert \lvert v \rang \Vert = 1∥∣v⟩∥=1，则称∣v⟩\lvert v \rang∣v⟩为归一化的；任意非零向量除以其范数，称为向量的归一化。

2.外积
两个向量∣v⟩\lvert v \rang∣v⟩和∣w⟩\lvert w \rang∣w⟩的外积在量子力学中的标准符号写成∣v⟩⟨w∣\lvert v \rang \lang w \lvert∣v⟩⟨w∣，表示CnC^nCn中的一个外积，即∣v⟩⟨w∣=[x1,x2,...,xn]T[y1,y2,...,yn]\lvert v \rang \lang w \lvert = [x_1,x_2,...,x_n]^T [y_1,y_2,...,y_n]∣v⟩⟨w∣=[x1,x2,...,xn]T[y1,y2,...,yn]。
假设∣i⟩\lvert i \rang∣i⟩为向量空间CnC^nCn的任意标准正交基，对任意向量∣v⟩\lvert v \rang∣v⟩可写为∣v⟩=∑ivi∣i⟩\lvert v \rang = \displaystyle\sum_{i}v_i\lvert i \rang∣v⟩=i∑vi∣i⟩。式中，viv_ivi是一组复数（为基本状态∣i⟩\lvert i \rang∣i⟩的概率幅），取∣i⟩\lvert i \rang∣i⟩为one-hot向量，∣v⟩=[v1,v2,...,vn]T\lvert v \rang=[v_1,v_2,...,v_n]^T∣v⟩=[v1,v2,...,vn]T,由内积定义可得⟨i∣v⟩=vi\lang i \lvert v \rang = v_i⟨i∣v⟩=vi，于是(∑i∣i⟩⟨i∣)∣v⟩=∑i∣i⟩⟨i∣v⟩=∑ivi∣i⟩=∣v⟩(\displaystyle\sum_{i}\lvert i \rang \lang i \lvert)\lvert v \rang = \displaystyle\sum_{i}\lvert i \rang \lang i \lvert v \rang = \displaystyle\sum_{i} v_i \lvert i \rang = \lvert v \rang(i∑∣i⟩⟨i∣)∣v⟩=i∑∣i⟩⟨i∣v⟩=i∑vi∣i⟩=∣v⟩，而∑i∣i⟩⟨i∣=I\displaystyle\sum_{i} \lvert i \rang \lang i \lvert = Ii∑∣i⟩⟨i∣=I，称为向量空间CnC^nCn的标准正交基的完备性关系，由该完备性关系可以把任意算子表示成外积形式。

3.张量积
为了用数学方法描述微观粒子在一定时空中的运动规律，必须建立空间坐标系。描述同一运动规律的方程在不同坐标系中的形式不同，这种形式上的差异严重阻碍了人们对运动规律的理解。张量理论体系的建立，把坐标系对描述运动方程形式的影响减小到了最低程度。于是，需要借助张量积的方法，将向量空间结合在一起构成更大向量空间，以便于更好地分析和理解量子力学多粒子系统。

设VVV和WWW分别是mmm和nnn维的向量空间，并假设VVV和WWW是希尔伯特空间，称V⊗WV\otimes WV⊗W是VVV和WWW的张量积，他是一个mnmnmn维向量空间，V⊗WV\otimes WV⊗W的元素是VVV的元素∣v⟩\lvert v \rang∣v⟩和WWW的元素∣w⟩\lvert w \rang∣w⟩的张量积V⊗WV\otimes WV⊗W的线性组合。若∣i⟩\lvert i \rang∣i⟩和∣j⟩\lvert j \rang∣j⟩是VVV和WWW的标准正交基，则∣i⟩⊗∣j⟩\lvert i \rang \otimes \lvert j \rang∣i⟩⊗∣j⟩是V⊗WV\otimes WV⊗W的一个基，通常用符号∣v⟩∣w⟩\lvert v \rang \lvert w \rang∣v⟩∣w⟩、∣v,w⟩\lvert v , w \rang∣v,w⟩或∣vw⟩\lvert vw \rang∣vw⟩来表示张量积V⊗WV\otimes WV⊗W。

测量基

从量子力学的角度上看，测量基就是将要对量子系统进行测量的某一物理量。形象解释参考单光子偏振

量子比特

经典比特状态：0或1，量子比特状态∣0⟩\lvert 0 \rang∣0⟩或∣1⟩\lvert 1 \rang∣1⟩。

多量子比特

对于两个经典比特而言，共有四种可能状态：00，00，10，11。相应的，一个双量子比特有四个基态，记作∣00⟩\lvert 00 \rang∣00⟩，∣01⟩\lvert 01\rang∣01⟩，∣10⟩\lvert 10 \rang∣10⟩，∣11⟩\lvert 11 \rang∣11⟩。一个量子比特也可以处于这四个基态的叠加，因而双量子比特的量子状态包含响应基态的复系数，称为概率振幅。描述双量子比特的状态向量为：
∣Ψ⟩=α00∣00⟩+α01∣01⟩+α10∣10⟩+α11∣11⟩\lvert \Psi \rang = \alpha_{00}\lvert 00 \rang + \alpha_{01}\lvert 01 \rang +\alpha_{10}\lvert 10 \rang+\alpha_{11}\lvert 11 \rang∣Ψ⟩=α00∣00⟩+α01∣01⟩+α10∣10⟩+α11∣11⟩
类似于单量子比特的情形，测量结果x(=00,01,10或11)x(=00,01,10或11)x(=00,01,10或11)出现的概率是∣αx∣2|\alpha_x|^2∣αx∣2。

对于一个双量子比特系统，只测量其中一个量子比特，例如，单独测量第一个量子比特，得到0的概率为∣α00∣2+∣α01∣2|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2∣α00∣2+∣α01∣2，而测量后的状态为：
∣Ψ′⟩=α00∣00⟩+α01∣01⟩∣α00∣2+∣α01∣2\lvert \Psi \rq \rang =\cfrac{\alpha_{00}\lvert 00 \rang + \alpha_{01}\lvert 01 \rang}{ \sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}∣Ψ′⟩=∣α00∣2+∣α01∣2α00∣00⟩+α01∣01⟩

量子信息的量子力学基础

量子力学的基本假设

微观量子系统的物理状态可以用Hilbert空间的一个态矢量∣Ψ(t)⟩\lvert \Psi(t) \rang∣Ψ(t)⟩来描述。
微观量子系统的每一个力学量对应Hilbert空间中的一个线性厄米算符，力学量的取值是相应算符的本征值。
微观系统的状态∣Ψ(t)⟩\lvert \Psi(t) \rang∣Ψ(t)⟩随时间演化的动力学方程为薛定谔方程：iℏ∂∂tΨ(t)=H^Ψ(t)i\hbar\cfrac{\partial}{\partial t } \Psi (t) = \hat{H} \Psi (t)iℏ∂t∂Ψ(t)=H^Ψ(t)
式中H^=H(X^,P,t)\hat{H} = H(\hat{X},P,t)H^=H(X^,P,t)是系统的哈密顿算符。
测量与塌缩：假定力学量算符AAA的本征值是a1a_1a1和a2a_2a2，对应的本征态分别为ø1\text{\o}_1ø1和ø2\text{\o}_2ø2；如果微观体系处于AAA算符的两个本征态为ø1\text{\o}_1ø1和ø2\text{\o}_2ø2的叠加态为Ψ=c1ø1+c2ø2\Psi = c_1\text{\o}_1 + c_2\text{\o}_2Ψ=c1ø1+c2ø2，那么对于微观体系的力学量AAA进行测量，将以∣c1∣2|c_1|^2∣c1∣2的概率获得结果a1a_1a1，以∣c2∣2|c_2|^2∣c2∣2的概率获得结果a2a_2a2；测量后，体系的量子态塌缩到测量所得本征值对应的本征态。
描写全同例子系统的态矢量，对于任意一个粒子的交换，是对称的或反对称的；服从前者的例子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。

量子态叠加原理

对于量子态的测量结果不一定是完全确定的，可能是某一些测量结果的概率分布。这是因为量子态可以是测量算符的一些本征态的叠加。

如果∣Ψ1⟩\vert \Psi_1 \rang∣Ψ1⟩，∣Ψ2⟩\vert \Psi_2 \rang∣Ψ2⟩，∣Ψ3⟩\vert \Psi_3 \rang∣Ψ3⟩，…，∣Ψn⟩\vert \Psi_n \rang∣Ψn⟩ 是量子系统的可能的态，那么它们的任意线性叠加态：
∣Ψ⟩=∑ici∣Ψi⟩,(i=1,2,...,n)\vert \Psi \rang = \displaystyle\sum_{i} c_i \vert \Psi_i \rang ,(i = 1,2,...,n)∣Ψ⟩=i∑ci∣Ψi⟩,(i=1,2,...,n)
也是系统的一个可能的态。

两个相同的态的叠加在经典物理中代表一个新的态，但在量子物理中仅表示同一个态；经典物理中的叠加是概率的叠加，而量子物理中的叠加是概率幅的叠加。

测不准原理与非克隆原理

测不准原理
根据量子力学的基本假设，微观体系的一个力学量用一个线性厄米算符表示。处于某一给定状态∣Ψ(t)⟩\vert \Psi(t) \rang∣Ψ(t)⟩的量子系统，其各力学量并不总是取确定值。

非克隆定理
一个未知的量子态不能被完全拷贝。

量子态的演化与幺正算符

孤立量子系统态矢量随时间演化的动力学方程为薛定谔方程，除了薛定谔方程，还可以通过演化算符U(t,t0)U(t,t_0)U(t,t0)来描述。
∣Ψ(t)⟩=U(t,t0)∣Ψ(t0)⟩\vert \Psi(t) \rang = U(t,t_0)\vert \Psi(t_0) \rang∣Ψ(t)⟩=U(t,t0)∣Ψ(t0)⟩
将态矢量∣Ψ(t)⟩\vert \Psi(t) \rang∣Ψ(t)⟩带入薛定谔方程，可以得到演化算符U(t,t0)U(t,t_0)U(t,t0)满足的微分方程：
iℏ∂∂tU(t,t0)=H^U(t,t0)i\hbar\cfrac{\partial}{\partial t } U(t,t_0) = \hat{H} U(t,t_0)iℏ∂t∂U(t,t0)=H^U(t,t0)
在哈密顿量H^\hat{H}H^不显含时间的情况下，利用初始条件U(t,t0)=1U(t,t_0) = 1U(t,t0)=1，可求得方程的解为：
U(t,t0)=e−iℏH^(t,t0)U(t,t_0) = e^{-\cfrac{i}{\hbar} \hat{H}(t,t_0)}U(t,t0)=e−ℏiH^(t,t0)

在量子力学中，如果算符AAA满足如下关系，则称之为幺正算符：
AA+=A+A=IAA^+ = A^+A = IAA+=A+A=I
其中III为单位矩阵。

演化算符U(t,t0)U(t,t_0)U(t,t0)也是幺正算符。

幺正算符具有保概率性、可逆性等特性。

量子纠缠

纯态与混合态

纯态
能用Hilbert空间中的一个矢量表示的量子系统的态称之为纯态，多个纯态的线性叠加所描述的量子态也是纯态。

混合态
当系统不是出于某一确定的态，而是以某一种概率分布出于某一些量子态，这时无法用一个Hilbert空间的态矢量来描述这样的量子系统，称此系统处于的状态为混合态。

直积态与纠缠态

这两个态是针对多量子系统的

两粒子系统AAA和BBB，如果可以写成直积的形式，则称此量子系统处于直积态；否则，称之处于纠缠态。

纠缠态是在某时刻演化算符U(t,t0)U(t,t_0)U(t,t0)作用后，使得哈密顿量不能写成子系统求和的形式，演化算符不能写成子系统直积的形式，导致态矢量不能写成两子系统的态矢量直积形式。

密度算符与约化密度矩阵

密度算符
可以用密度矩阵ρ\rhoρ来描述处于混合态的量子系统。
对于纯态，密度算符定义为：
ρ=∣Ψ⟩⟨Ψ∣\rho = | \Psi \rang \lang \Psi |ρ=∣Ψ⟩⟨Ψ∣

对于混合态
{∣Ψ1⟩:p1∣Ψ2⟩:p2...\begin{cases} | \Psi_1 \rang : p_1 \\ | \Psi_2 \rang : p_2 \\ ... \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧∣Ψ1⟩:p1∣Ψ2⟩:p2...
由概率守恒有归一化条件：
∑ipi=1\displaystyle\sum_{i} p_i = 1i∑pi=1
此时，混合态的密度算符定义为：
ρ=∑ipi∣Ψi⟩⟨Ψi∣\rho = \displaystyle\sum_{i} p_i | \Psi_i \rang \lang \Psi_i |ρ=i∑pi∣Ψi⟩⟨Ψi∣
密度算符的矩阵表示即为密度矩阵。密度矩阵的矩阵元可以写为：
ρij=⟨Ψi∣ρ∣Ψj⟩\rho_{ij} = \lang \Psi_i |\rho|\Psi_j \rangρij=⟨Ψi∣ρ∣Ψj⟩
其中，∣Ψi⟩|\Psi_i \rang∣Ψi⟩是一组基矢。

对于纯态
Trρ2=Trρ=1Tr \rho^2 = Tr \rho = 1Trρ2=Trρ=1

对于混合态
Trρ2<Trρ=1Tr \rho^2 < Tr \rho = 1Trρ2<Trρ=1

约化密度矩阵
ρA=TrB(ρAB)\rho_A = Tr_B(\rho_{AB})ρA=TrB(ρAB)
其中TrBTr_BTrB为系统B上的偏迹。

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