发散级数(中文维基百科)

2024-05-09 19:58:57

发散级数(中文维基百科)

发散级数

（英语：Divergent Series）指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数 1+2+3+4+⋯1 + 2 + 3 + 4 + \cdots1+2+3+4+⋯和 1−1+1−1+⋯{\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }1−1+1−1+⋯ ，也就是说该级数的部分和序列没有一个有穷极限。
如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个反例是调和级数

1+12+13+14+⋯=∑n=1∞1n.{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.} 1+21+31+41+⋯=n=1∑∞n1.

调和级数的发散性被中世纪数学家奥里斯姆所证明。

发散级数通常是灾难性的，基于它的任何证明都是不光彩的

N. H. Abel, letter to Holmboe, January 1826, 再版于他论文集的第二卷。

目录
1 可和法
2 历史
3 关于发散级数求和的可和法定理
4 可和法的基本性质
5 传统意义下的可和法
5.1 级数的和
5.2 绝对收敛
6 Nørlund平均
6.1 切萨罗可和法
7 阿贝尔型可和法
7.1 阿贝尔可和法
7.2 林德勒夫可和法
8 解析延拓
8.1 幂级数的解析延拓
8.2 欧拉可和法
8.3 狄利克雷级数的解析延拓
8.4 zeta函数的正则化
9 基于整函数的可和法
9.1 波莱尔可和法
9.2 Valiron可和法
10 矩可和法
10.1 波莱尔可和法
11 各类可和法
11.1 豪斯多夫变换
11.2 赫尔德可和法
11.3 Hutton可和法
11.4 英厄姆可和法
11.5 朗伯可和法
11.6 Le Roy可和法
11.7 米塔-列夫勒可和法
11.8 拉马努金可和法
11.9 黎曼可和法
11.10 里斯可和法
11.11 Vallée-Poussin可和法
12 参考文献
13 引用

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