交通咨询系统（最短路径问题）

【问题描述】

在交通网络非常发达、交通工具和交通方式不断更新的今天,人们在出差、旅游或做其他出行时，不仅关心节省交通费用，而且对里程和所需要的时间等问题也感兴趣。对于这样一个人们关心的问题，可用
一个图结构来表示交通网络系统，利用计算机建立一个交通咨询系统。图中的顶点表示城市，边表示城市之间的交通关系。这个交通系统可以回答出行旅客提出的各种路径选择问题。例如，问题之一：“一位旅
客要从 A 城到 B 城，他希望选择一条途中中转次数最少的路线。”假设图中每一站都需要换车，那么这个问题反映到图上就是要找一条从顶点 A 到顶点 B 的所含边数目最少的路径。我们只需要从顶点 A 出发对图
作广度优先搜索，一旦遇到顶点 B 就终止。由此所得广度优先生成树上，从根顶点 A 到顶点 B 的路径就是中转次数最少的路径。路径上 A 与 B 之间的顶点就是路径的中转站，但这只是一类最简单的图的最短路径问题。系统还可以回答诸如此类的等等的路径选择问题。设计一个交通咨询系统，为出差、旅游或做其他出行的客人提供各种路径选择信息查询服务。

【基本要求】

设计一个交通咨询系统，能让旅客咨询从任一个城市顶点到另一城市顶点之间的最短路径（里程）或最低花费或最少时间等问题。对于不同的咨询要求，可输入城市间的路程或所需时间或所需费用。
本设计共分三部分，一是建立交通网络图的存储结构；二是解决单源最短路径问题；三是实现任两个城市顶点之间的最短路径问题。

建立图的存储结构

图的邻接矩阵表示，除了需用一个二维数组存储顶点之间的相邻关系的邻接矩阵外，通常还需要使用一个具有 n 个元素的一维数组来存储顶点信息，其中下标为 i 的元素存储顶点 i 的信息。因此，图的邻接
矩阵的存储结构定义如下：

#define MVNum 50 //最大顶点数
typedef struct{VertexType vexs[MVNum]; //顶点数组，类型假定为 char 型Adjmatrix arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵，假定为 int 型
} MGraph; //图的邻接矩阵存储类型

单源最短路径

为了叙述方便，我们把路径上的开始点称为源点，路径的最后一个顶点为终点。
那么，如何求得给定有向图的单源最短路径呢？迪杰斯特拉（Dijkstra）提出按路径长度递增产生诸点的最短路径算法，称之为迪杰斯特拉算法。

任意一对顶点间最短路径

任意一对顶点间最短路径问题，是对于给定的有向网络图 G=（V，E），要对 G 中任意一对顶点有序对 “v,w(v ！=w)”,找出 v 到 w 的最短路径。
要解决这个问题，我们可以依次把有向网络图中每个顶点作为源点，重复执行前面讨论的迪杰斯特拉算法 n 次，即可以求得每对顶点之间的最短路径。这里还可以用另外一种方法，称作费洛伊德（Floyd）算法。

【测试实例】

测试实例一
图 5-1 是一个有向图，求顶点a到其余顶点的最短路径。

为了操作方便，对于图的顶点可以用序号来表示的，顶点的字母就用其对应的序号来表示，如a用 1来代替，„„。

运行实例二
图 5-2 是一个简单的交通网络图。求顶点“北京”到其余各城市之间的最短路径；并分别求“成都”到“上海”之间以及“上海”到“西安”之间的最短路径。为了操作方便，对于图的顶点可以用序号来表示的，顶点的字母就用其对应的序号来表示，如北京用1 来代替，„„。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MVNum 50    //最大顶点数
#define Maxint 35000
enum boolean{FALSE,TRUE};
typedef char VertexType;
typedef int Adjmatrix;
typedef struct
{VertexType vexs[MVNum];     //顶点数组，类型假定为char型Adjmatrix arcs[MVNum][MVNum];     //邻接矩阵，假定为int型
}MGraph;
int D1[MVNum],p1[MVNum];
int D[MVNum][MVNum],p[MVNum][MVNum];//采用邻接矩阵表示法构造有向图G
//n，e表示图的当前顶点数和边数
void CreateMGraph(MGraph *G,int n,int e)
{int i,j,k,w;for(i=1;i<=n;i++)   //输入顶点信息G->vexs[i]=(char)i;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)G->arcs[i][j]=Maxint;   //初始化邻接矩阵printf("输入%d条边的i，j及w：\n",e);for(k=1;k<=e;k++){//读入e条边，建立邻接矩阵scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&w);G->arcs[i][j]=w;}printf("有向图的存储结构建立完毕！ \n");
}//dijkstra
//广度优先搜索
void Dijkstra(MGraph *G,int v1,int n)
{//用Dijikstra算法求有向图G的v1顶点到其他顶点v的最短路径p[v]及其权D[v]//S[v]为真当且仅当v属于s，及以求的从v1到v的最短路径int D2[MVNum],p2[MVNum];int v,i,w,min;enum boolean S[MVNum];for(v=1;v<=n;v++){//初始化 S 和 DS[v]=FALSE;          //置空最短路径终点集D2[v]=G->arcs[v1][v];      //置初始的最短路径值if(D2[v]<Maxint)p2[v]=v1;             //v1是的前趋（双亲）elsep2[v]=0;              //v无前趋}D2[v1]=0;         //S集初始时只有源点，源点到源点的距离为0S[v1]=TRUE;       //开始循环，每次求的V1到某个顶点的最短路径，并加V到S集中for (i=2;i<n;i++){//其余n-1个顶点min=Maxint;for(w=1;w<=n;w++)if(!S[w]&&D2[w]<min){//找离v1最近的顶点w，并将其赋给v，距离赋给minv=w;min=D2[w];}S[v]=TRUE;for(w=1;w<=n;w++)if(!S[w]&&(D2[v]+G->arcs[v][w]<D2[w])){D2[w]=D2[v]+G->arcs[v][w];p2[w]=v;}}printf("路径长度 路径\n");for(i=1;i<=n;i++){printf("%5d",D2[i]);printf("%5d",i);v=p2[i];while(v!=0){printf("<-%d",v);v=p2[v];}printf("\n");}
}//floyd(费洛伊德算法)
//使用n*n二维数组储存路径信息
//D[i][j]：记录每一对顶点的最短距离
void Floyd(MGraph *G,  int n)
{int i, j, k;//储存每一对顶点之间的路径距离for(i=1;i<=n;j++)for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){if(G->arcs[i][j]!=Maxint)p[i][j]=j;elsep[i][j]=0;D[i][j]=G->arcs[i][j];    }//k=1时只允许经过1号顶点进行中转//k=2时只允许经过1号和2号顶点进行中转//k=3......//k=4......for(k=1;k<=n;k++){for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){//如果顶点i到k，k到j的距离大于i直接到j距离则i到j的距离则需经过k顶点中转if(D[i][k]+D[k][j]<D[i][j]){D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];p[i][j]=p[i][k];}}}
}//v：起点
//w：终点
int main()
{MGraph *G;int n,e,v,w,k;int xz=1;      //算法选择标志G=(MGraph *)malloc(sizeof(MGraph));     //初始化图printf("输入图中顶点个数和边数n,e:");scanf("%d,%d",&n,&e);CreateMGraph(G,n,e);    //建立有向图结构while(xz!=0){printf("    求城市之间的最短路径    \n");printf("----------------------\n");printf("1.求一个城市到所有城市的最短路径\n");printf("2.求任意的两个城市之间的最短路径\n");printf("-------------------\n");printf("请选择：1 或 2，  选择 0：退出   ");scanf("%d",&xz);if(xz==2)           //任意一对顶点间最短路径{Floyd(G,n);     printf("输入起点：");scanf("%d",&v);printf("输入终点：");scanf("%d",&w);k=p[v][w];     //k为v的后继结点if(k==0){printf("顶点%d 到 %d无路径！\n",v,w);}else{printf("从顶点%d到%d的最短路径是：%d",v,w,v);}while(k!=w){printf("-->%d",k);k=p[k][w];}printf("--%d",w);printf("路径长度：%d\n",D[v][w]);}if(xz==1){printf("求单源路径，输入起点 v：");scanf("%d",&v);Dijkstra(G,v,n);}}printf("结束求最短路径");
}

输入

1,2,2553
2,1,2553
1,3,695
3,1,695
1,4,704
4,1,704
2,3,511
3,2,511
2,5,812
5,2,812
3,4,349
4,3,349
3,6,1579
6,3,1579
4,7,651
7,4,651
5,6,2368
6,5,2368
6,7,1385
7,6,1385

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