1. 符号记法

1.1 标量

标量用非加粗的小写字母或者大写字母表示。

符号	含义
mim_imi	第 iii 个网格的质量
Vp0V^0_pVp0	第 ppp 个粒子在第 000 个时间步的体积

1.2 向量及矩阵

向量用加粗的小写字母表示；
矩阵用加粗的大写字母表示。

符号	含义
vp\bold{v}_pvp	第 ppp 个粒子的速度
Cp\bold{C}_pCp	第 ppp 个粒子相关矩阵（下述中为粒子速度的梯度）

1.3 角标

左下角的 iii 表示第 iii 个网格；
左下角的 ppp 表示第 ppp 个粒子；
左上角的 nnn 表示第 nnn 个 时间步 。

符号	含义
vi\bold{v}_ivi	第 iii 个网格的速度
vp\bold{v}_pvp	第 ppp 个粒子的速度
xpn\bold{x}^n_pxpn	第 ppp 个粒子在第 nnn 个时间步的位置
xpn+1\bold{x}^{n+1}_pxpn+1	第 ppp 个粒子在第 n+1n+1n+1 个时间步的位置

2. 不可压缩流体的 APIC

2.1 Particle to grid (P2G)

网格结点的动量：

(mv)in+1=∑pwip[mpvpn+mpCpn(xi−xpn)](m\bold{v})^{n+1}_i = \sum_p w_{ip}[m_p \bold{v}^n_p + m_p \bold{C}^n_p(\bold{x}_i - \bold{x}^n_p)] (mv)in+1=p∑wip[mpvpn+mpCpn(xi−xpn)]

网格结点的质量：

min+1=∑pmpwipm^{n+1}_i = \sum_p m_p w_{ip} min+1=p∑mpwip

2.2 Grid operations

网格结点的速度：

v^in+1=(mv)in+1/min+1\hat{\bold{v}}^{n+1}_i = (m \bold{v})^{n+1}_i / m^{n+1}_i v^in+1=(mv)in+1/min+1

使用 Chorin-style 压力投影：

vn+1=project(v^n+1)\bold{v}^{n+1} = \bold{project} (\bold{\hat{v}}^{n+1}) vn+1=project(v^n+1)

2.3 Grid to particle (G2P)

粒子速度：

vpn+1=∑iwipvin+1\bold{v}^{n+1}_p = \sum_i w_{ip} \bold{v}^{n+1}_i vpn+1=i∑wipvin+1

粒子速度的梯度：

Cpn+1=4Δx2∑iwipvin+1(xi−xpn)T\bold{C}^{n+1}_p = \cfrac{4}{\Delta x^2} \sum_i w_{ip} \bold{v}^{n+1}_i(\bold{x}_i - \bold{x}^n_p)^T Cpn+1=Δx24i∑wipvin+1(xi−xpn)T

Note ：

APIC 矩阵，表示网格结点上的速度 vin+1\bold{v}^{n+1}_ivin+1 与 x\bold{x}x 的变化量 (xi−xpn)(\bold{x}_i - \bold{x}^n_p)(xi−xpn) 之间的关系；
二者之间做个外积： vin+1⊗(xi−xpn)=vin+1(xi−xpn)T\bold{v}^{n+1}_i \otimes (\bold{x}_i - \bold{x}^n_p) = \bold{v}^{n+1}_i(\bold{x}_i - \bold{x}^n_p)^Tvin+1⊗(xi−xpn)=vin+1(xi−xpn)T 。

粒子位置：

xpn+1=xpn+Δtvpn+1\bold{x}^{n+1}_p = \bold{x}^n_p + \Delta t \bold{v}^{n+1}_p xpn+1=xpn+Δtvpn+1

3. MLS-MPM（隐式）

3.1 Particle to grid (P2G)

粒子形变：

Fpn+1=(I+ΔtCpn)Fpn\bold{F}^{n+1}_p = (\bold{I} + \Delta t \bold{C}^n_p)\bold{F}^n_p Fpn+1=(I+ΔtCpn)Fpn

网格动量：

(mv)in+1=∑pwip{mpvpn+[mpCpn−4ΔtΔx2∑pVp0P(Fpn+1)(Fpn+1)T](xi−xpn)}(m \bold{v})^{n+1}_i = \sum_p w_{ip} \{ m_p \bold{v}^n_p + [m_p \bold{C}^n_p - \frac{4\Delta t}{\Delta x^2} \sum_p V^0_p \bold{P}(\bold{F}^{n+1}_p)(\bold{F}^{n+1}_p)^T] (\bold{x}_i - \bold{x}^n_p) \} (mv)in+1=p∑wip{mpvpn+[mpCpn−Δx24Δtp∑Vp0P(Fpn+1)(Fpn+1)T](xi−xpn)}

网格质量：

min+1=∑pmpwipm^{n+1}_i = \sum_p m_p w_{ip} min+1=p∑mpwip

3.2 Grid operations

网格速度：

v^in+1=(mv)in+1/min+1\hat{\bold{v}}^{n+1}_i = (m \bold{v})^{n+1}_i / m^{n+1}_i v^in+1=(mv)in+1/min+1

网格边界条件（其中 BC 是边界条件运算符）：

vin+1=BC(v^in+1)\bold{v}^{n+1}_i = \mathsf{BC}(\hat{\bold{v}}^{n+1}_i) vin+1=BC(v^in+1)

3.3 Grid to particle (G2P)

粒子速度：

vpn+1=∑iwipvin+1\bold{v}^{n+1}_p = \sum_i w_{ip} \bold{v}^{n+1}_i vpn+1=i∑wipvin+1

粒子速度梯度：

Cpn+1=4Δx2∑iwipvin+1(xi−xpn)T\bold{C}^{n+1}_p = \frac{4}{\Delta x^2} \sum_i w_{ip} \bold{v}^{n+1}_i (\bold{x}_i - \bold{x}^n_p)^T Cpn+1=Δx24i∑wipvin+1(xi−xpn)T

粒子坐标：

xpn+1=xpn+Δtvpn+1\bold{x}^{n+1}_p = \bold{x}^{n}_p + \Delta t \bold{v}^{n+1}_p xpn+1=xpn+Δtvpn+1

4. 更新粒子的形变

局部速度场的梯度不为零，因此粒子的形变梯度 F\bold{F}F 会变化：

∇v=∂vn∂x|x=xpn≠0\nabla \bold{v} = \left. \frac{\partial \bold{v}^n}{\partial \bold{x}} \middle | \begin{aligned} \\ {\bold{x} = \bold{x}^n_p} \end{aligned} \right. \neq \bold{0} ∇v=∂x∂vn∣∣∣∣∣x=xpn=0

可推出形变梯度的递推式：

Fpn+1=(I+Δt∇v)Fpn\bold{F}^{n+1}_p = (\bold{I} + \Delta t \nabla \bold{v})\bold{F}^n_p Fpn+1=(I+Δt∇v)Fpn

在 APIC 中，∇v\nabla \bold{v}∇v 使用 Cpn\bold{C}^n_pCpn 进行近似：

Fpn+1=(I+ΔtCpn)Fpn\bold{F}^{n+1}_p = (\bold{I} + \Delta t \bold{C}^n_p)\bold{F}^n_p Fpn+1=(I+ΔtCpn)Fpn

5. P2G

5.1 内力计算

网格动量：

(mv)in+1=∑pwip{mpvpn+[mpCpn−4ΔtΔx2∑pVp0P(Fpn+1)(Fpn+1)T](xi−xpn)}(m \bold{v})^{n+1}_i = \sum_p w_{ip} \{ m_p \bold{v}^n_p + [\textcolor{Red}{m_p \bold{C}^n_p} - \textcolor{Blue}{\frac{4 \textcolor{Black}{\Delta t}}{\Delta x^2} \sum_p V^0_p \bold{P}(\bold{F}^{n+1}_p)(\bold{F}^{n+1}_p)^T}] (\bold{x}_i - \bold{x}^n_p) \} (mv)in+1=p∑wip{mpvpn+[mpCpn−Δx24Δtp∑Vp0P(Fpn+1)(Fpn+1)T](xi−xpn)}

两个动量项：

APIC:

wip[mpvpn+mpCpn(xi−xpn)]w_{ip} [m_p \bold{v}^n_p + \textcolor{Red}{m_p \bold{C}^n_p} (\bold{x}_i - \bold{x}^n_p)] wip[mpvpn+mpCpn(xi−xpn)]

粒子的弹力冲量：

Δtfip=−wip4ΔtΔx2∑pVp0P(Fpn+1)(Fpn+1)T(xi−xpn)\Delta t \bold{f}_{ip} = - w_{ip} \textcolor{Blue}{\frac{4 \textcolor{Black}{\Delta t}}{\Delta x^2} \sum_p V^0_p \bold{P}(\bold{F}^{n+1}_p)(\bold{F}^{n+1}_p)^T} (\bold{x}_i - \bold{x}^n_p) Δtfip=−wipΔx24Δtp∑Vp0P(Fpn+1)(Fpn+1)T(xi−xpn)

假设超弹性材料，使用势能梯度导出 fi\bold{f}_ifi ，即粒子 ppp 对网格结点 iii 力的贡献：

U=∑pVp0Ψp(Fp)fi=−∂U∂xi\begin{aligned} U &= \sum_p V^0_p \Psi_p (\bold{F}_p) \\ \bold{f}_i &= -\cfrac{\partial U}{\partial \bold{x}_i} \end{aligned} Ufi=p∑Vp0Ψp(Fp)=−∂xi∂U

Note ：

Ψp\Psi_pΨp ：粒子 ppp 的弹性能量密度；
UUU ：总弹性势能；
Vp0V^0_pVp0 ：粒子 ppp 的初始体积。

5.2 节点力计算

总所周知，网格上的结点理论上是不会发生位移和形变的，因此这使得我们需要借助微分工具来获得一个微形变，从而计算出总弹性势能 UUU 对位移 xi\bold{x}_ixi 的梯度，继而获得 fi\bold{f}_ifi 。

设网格结点经过了一个微小的时间间隔 τ\tauτ ，该值趋于零，即 τ→0\tau \to 0τ→0 ，那么我们可以获得以下几个对应的式子：

网格结点的当前位置（前向欧拉积分）：

xi^=xi+τvi\textcolor{Orange}{\hat{\bold{x}_i} = \bold{x}_i + \tau \bold{v}_i} xi^=xi+τvi

网格结点的 APIC 矩阵：

Cp=4Δx2∑iwipvi(xi−xp)T\textcolor{Red}{\bold{C}_p = \cfrac{4}{\Delta x^2} \sum_i w_{ip} \bold{v}_i (\bold{x}_i - \bold{x}_p)^T} Cp=Δx24i∑wipvi(xi−xp)T

网格结点的形变梯度：

Fp′=(I+τCp)Fp\textcolor{SkyBlue}{\bold{F}'_p = (\bold{I} + \tau \bold{C}_p)\bold{F}_p} Fp′=(I+τCp)Fp

网格结点的受力：

fi=−∂U∂xi=−∑pVp0∂Ψ(Fp′)∂x^i=−∑pVp0τ∂Ψp(Fp′)∂vi=−∑pVp0τ∂Ψ(Fp′)∂Fp′∂Fp′∂Cp∂Cp∂vin=−∑pVp0τPp(Fp′)⋅τFpT⋅4wipΔx2(xi−xp)=−4Δx2∑pVp0P(Fp′)⋅FpTwip(xi−xp)\begin{aligned} \bold{f}_i &= -\cfrac{\partial U}{\partial \bold{x}_i} \\ &= - \sum_p V^0_p \cfrac{\partial \Psi(\bold{F}'_p)}{\partial \textcolor{Orange}{\hat{\bold{x}}_i}} \\ &= - \sum_p \cfrac{V^0_p}{\textcolor{Orange}{\tau}} \cfrac{\partial \Psi_p (\bold{F}'_p)}{\partial \textcolor{Orange}{\bold{v}_i}} \\ &= - \sum_p \cfrac{V^0_p}{\tau} \textcolor{Green}{\cfrac{\partial \Psi (\bold{F}'_p)}{\partial \bold{F}'_p}} \textcolor{SkyBlue}{\cfrac{\partial \bold{F}'_p}{\partial \bold{C}_p}} \textcolor{Red}{\cfrac{\partial \bold{C}_p}{\partial \bold{v}^n_i}} \\ &= - \sum_p \cfrac{V^0_p}{\tau} \textcolor{Green}{\bold{P}_p(\bold{F}'_p)} \cdot \textcolor{SkyBlue}{\tau \bold{F}^T_p} \cdot \textcolor{Red}{\cfrac{4w_{ip}}{\Delta x^2}(\bold{x}_i - \bold{x}_p)} \\ &= - \textcolor{Blue}{\cfrac{4}{\Delta x^2} \sum_p V^0_p \bold{P}(\bold{F}'_p) \cdot \bold{F}^T_p} w_{ip}(\bold{x}_i - \bold{x}_p) \end{aligned} fi=−∂xi∂U=−p∑Vp0∂x^i∂Ψ(Fp′)=−p∑τVp0∂vi∂Ψp(Fp′)=−p∑τVp0∂Fp′∂Ψ(Fp′)∂Cp∂Fp′∂vin∂Cp=−p∑τVp0Pp(Fp′)⋅τFpT⋅Δx24wip(xi−xp)=−Δx24p∑Vp0P(Fp′)⋅FpTwip(xi−xp)

6. Grid operations

6.1 强边界条件（BC）

因为上述的分部积分、散度定理、自由度均在网格上进行操作，所以 MPM 中应在网格上计算边界条件，对于每个在边界内的网格结点 iii ：

6.1.1 sticky 边界条件

粒子在边界上速度直接归零：

vin+1=BCsticky(v^in+1)=0\bold{v}^{n+1}_i = \mathsf{BC_{sticky}} (\bold{\hat{v}}^{n+1}_i) = \bold{0} vin+1=BCsticky(v^in+1)=0

6.1.2 slip 边界条件（滑移）

粒子在边界上法线方向上的速度归零，切向速度不变，粒子会在边界上沿着边界光滑地滑动：

vin+1=BCslip(v^in+1)=v^in+1−n(nTv^in+1)\bold{v}^{n+1}_i = \mathsf{BC_{slip}} (\bold{\hat{v}}^{n+1}_i) = \bold{\hat{v}}^{n+1}_i - \bold{n}(\bold{n}^T \bold{\hat{v}}^{n+1}_i) vin+1=BCslip(v^in+1)=v^in+1−n(nTv^in+1)

Note ；

n\bold{n}n ：表面法向量。

6.1.3 separate 边界条件（分离）

仅仅使得靠近边界的粒子应用 slip 边界条件：

vin+1=BCseparate(v^in+1)=v^in+1−n⋅min⁡(nTv^in+1,0)\bold{v}^{n+1}_i = \mathsf{BC_{separate}} (\bold{\hat{v}}^{n+1}_i) = \bold{\hat{v}}^{n+1}_i - \bold{n} \cdot \min(\bold{n}^T \bold{\hat{v}}^{n+1}_i , 0) vin+1=BCseparate(v^in+1)=v^in+1−n⋅min(nTv^in+1,0)

Note ：

其中 nTv^in+1\bold{n}^T \bold{\hat{v}}^{n+1}_inTv^in+1 是速度法线方向的分量；
当粒子有靠近边界的趋势时（ nTv^in+1<0\bold{n}^T \bold{\hat{v}}^{n+1}_i < 0nTv^in+1<0 ），即 min⁡(nTv^in+1,0)=nTv^in+1\min(\bold{n}^T \bold{\hat{v}}^{n+1}_i , 0) = \bold{n}^T \bold{\hat{v}}^{n+1}_imin(nTv^in+1,0)=nTv^in+1 ，边界条件变为 slip 边界条件；
当粒子远离边界时，速度不发生变化，这使得原本在边界上的粒子有了离开边界的可能。

6.1.4 施加额外的外力

添加重力：vin+1+=Δtg\bold{v}^{n+1}_i += \Delta t \bold{g}vin+1+=Δtg （在边界条件之前操作）
移动碰撞对象：在相对速度上计算边界条件
库伦摩擦

7. 本构模型

弹性物体：NeoHookean & Corotated
（弱可压缩）流体：Equation-of-States （EOS）
弹塑性物体（雪，沙等）：屈服准则（例如 ad-hoc boxing ，Cam-clay ， Drucker-prager ，NACC）

本构模型主要分为两个部分：

（弹性/塑性）形变更新
（PK1）计算应力

7.1 弹性固体

7.1.1 形变更新

Fpn+1=(I+ΔtCpn)Fpn\bold{F}^{n+1}_p = (\bold{I} + \Delta t \bold{C}^n_p)\bold{F}^n_p Fpn+1=(I+ΔtCpn)Fpn

7.1.2 超弹性材料模型的 PK1 应力

Neo-Hookean 模型

Ψ(F)=μ2∑i[(FTF)ii−1]−μlog⁡(J)+λ2log⁡2(J)P(F)=∂Ψ∂F=μ(F−F−T)+λlog⁡(J)F−T\begin{aligned} \Psi(\bold{F}) &= \cfrac{\mu}{2} \sum_i [(\bold{F}^T \bold{F})_{ii} - 1] - \mu \log (J) + \cfrac{\lambda}{2} \log^2(J) \\ \bold{P(F)} &= \cfrac{\partial \Psi}{\partial \bold{F}} = \mu (\bold{F} - \bold{F}^{-T}) + \lambda \log (J) \bold{F}^{-T} \end{aligned} Ψ(F)P(F)=2μi∑[(FTF)ii−1]−μlog(J)+2λlog2(J)=∂F∂Ψ=μ(F−F−T)+λlog(J)F−T

（Fixed）Corotated 模型

Ψ(F)=μ∑i(σi−1)2+λ2(J−1)2P(F)=∂Ψ∂F=2μ(F−R)+λ(J−1)JF−T\begin{aligned} \Psi(\bold{F}) &= \mu \sum_i(\sigma_i - 1)^2 + \cfrac{\lambda}{2}(J - 1)^2 \\ \bold{P(F)} &= \cfrac{\partial \Psi}{\partial \bold{F}} = 2\mu(\bold{F} - \bold{R}) + \lambda (J - 1)J \bold{F}^{-T} \end{aligned} Ψ(F)P(F)=μi∑(σi−1)2+2λ(J−1)2=∂F∂Ψ=2μ(F−R)+λ(J−1)JF−T

Note ：

σi\sigma_iσi ：F\bold{F}F 的奇异值；
R\bold{R}R ：F\bold{F}F 做 SVD 后的旋转分量；
柯西应力 σ=1JPFT\sigma = \cfrac{1}{J} \bold{P} \bold{F}^Tσ=J1PFT 在 MPM 中不常使用。

7.2 弱可压缩流体

7.2.1 体积比

Jp=Vpn/Vp0=det⁡(Fpn)J_p = V^n_p / V^0_p = \det(\bold{F}^n_p) Jp=Vpn/Vp0=det(Fpn)

Note ：

体积比直接可以反映当前位置的压强；
体积比是粒子 ppp 在时间步 nnn 的形变 Fpn\bold{F}^n_pFpn 的行列式，即矩阵 Fpn\bold{F}^n_pFpn 代表的变换中空间体积沿着各个特征向量发生变化的倍数。

7.2.2 简易状态方程

使用一个物理层面上不够严谨的方程，来反映体积比和压强之间的关系：

p=K(1−J)p = K(1 - J) p=K(1−J)

Note ：

KKK ：体积系数。

之后可以计算柯西应力：

σ=−pI\sigma = -p \bold{I} σ=−pI

7.2.3 形变更新

为了避免 catastrophic cancellation ，不维护 Fp\bold{F}_pFp ，直接维护 Jpn=det⁡(Fpn)J^n_p = \det(\bold{F}^n_p)Jpn=det(Fpn) ：

Fpn+1=(I+ΔtCpn)Fpn⇒det⁡(Fpn+1)=det⁡(I+ΔtCp)det⁡(Fpn)⇒Jpn+1=(1+Δttr(Cpn))Jpn\begin{aligned} \bold{F}^{n+1}_p &= (\bold{I} + \Delta t \bold{C}^n_p) \bold{F}^n_p \\ \Rightarrow \det(\bold{F}^{n+1}_p) &= \det(\bold{I} + \Delta t \bold{C}_p) \det(\bold{F}^n_p) \\ \Rightarrow J^{n+1}_p &= (1 + \Delta t \bold{tr}(\bold{C}^n_p)) J^{n}_p \end{aligned} Fpn+1⇒det(Fpn+1)⇒Jpn+1=(I+ΔtCpn)Fpn=det(I+ΔtCp)det(Fpn)=(1+Δttr(Cpn))Jpn

7.2.4 简单实现弱可压缩流体

Corotated 模型：

Note ：

设置 μ=0\mu = 0μ=0 ，只保留 λ\lambdaλ ，通过这种方式仅惩罚体积项，通过 Corotated 实现；
为了避免数值不稳定的情况，每次更新 F\bold{F}F 时，将 F\bold{F}F 设置为单位矩阵，仅将第一行第一列项设置为 JJJ 。

8. 奇异值分解（SVD）

8.1 SVD 定义

对于任意矩阵 Mn×m\bold{M}_{n \times m}Mn×m 均可以进行奇异值分解：

Mn×m=Un×nΣn×mVm×mT\bold{M}_{n \times m} = \bold{U}_{n \times n} \bold{\Sigma}_{n \times m} \bold{V}^T_{m \times m} Mn×m=Un×nΣn×mVm×mT

Note ：

其中 U\bold{U}U 和 V\bold{V}V 为正交矩阵；
Σ\bold{\Sigma}Σ 为对角矩阵（Σij=0,i≠j\bold{\Sigma}_{ij} = 0,i \neq jΣij=0,i=j ）；
对角矩阵的迹 σi=Σii\sigma_i = \Sigma_{ii}σi=Σii 称之为 奇异值 。

8.2 奇异值分解的唯一性

SVD 的结果不是惟一的，因此需要添加一些限制：

det⁡(U)=det⁡(V)=1\det(\bold{U}) = \det(\bold{V}) = 1det(U)=det(V)=1 （仅限制在旋转，不是映射）；
∣Σii∣\vert \bold{\Sigma}_{ii} \vert∣Σii∣ 降序排序；
只有模最小的奇异值才能为负。

taichi 中的实现：

U, sig, V = ti.svd(M)
# sig is an NxN diagonal matrix.

8.3 模拟弹塑性固体

超弹性设置：

Fp=Fp<elastic>Fp<plastic>Ψpn=Ψ(Fp<elastic>)\begin{aligned} \bold{F}_p &= \bold{F}_{p<\bold{elastic}>} \bold{F}_{p<\bold{plastic}>} \\ \Psi^n_p &= \Psi(\bold{F}_{p<\bold{elastic}>}) \end{aligned} FpΨpn=Fp<elastic>Fp<plastic>=Ψ(Fp<elastic>)

Note ：

势能只会影响弹性形变，塑性形变被 “遗忘” 。

8.3.1 “Box” 屈服准则

先更新弹性形变：

F^pn+1=(I+ΔtCpn)Fp<elastic>n\bold{\hat{F}}^{n+1}_p = (\bold{I} + \Delta t \bold{C}^n_p) \bold{F}^n_{p<\bold{elastic}>}F^pn+1=(I+ΔtCpn)Fp<elastic>n

SVD：

F^pn+1=UΣ^VT\bold{\hat{F}}^{n+1}_p = \bold{U} \bold{\hat{\Sigma}} \bold{V}^T F^pn+1=UΣ^VT

对缩放倍数做一个 Clamping，限制数值的上下界，对于超出限制的部分舍去，以此实现塑性形变：

Σii=max⁡(min⁡(Σii^,1+θs),1−θc)\bold{\Sigma}_{ii} = \max(\min(\hat{\bold{\Sigma}_{ii}} , 1 + \theta_s), 1 - \theta_c) Σii=max(min(Σii^,1+θs),1−θc)

Note ：

θs\theta_sθs ：拉伸倍数的上限，拉伸超过该数值则不再拉伸；
θc\theta_cθc ：压缩倍数的上限，压缩超过该数值则不再压缩；
Σii∈[1−θc,1+θs]\bold{\Sigma}_{ii} \in [1 - \theta_c , 1 + \theta_s]Σii∈[1−θc,1+θs]

舍去塑性形变部分的缩放之后，更新新的弹性形变矩阵：

Fp<elastic>n+1=UΣVT\bold{F}^{n+1}_{p<\bold{elastic}>} = \bold{U} \bold{\Sigma} \bold{V}^T Fp<elastic>n+1=UΣVT

而在 Clamping 过程中舍去的形变作为塑性形变 Fp<plastic>n+1\bold{F}^{n+1}_{p<\bold{plastic}>}Fp<plastic>n+1

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【GAMES201学习笔记】MLS-MPM公式基础

1. 符号记法

1.1 标量

1.2 向量及矩阵

1.3 角标

2. 不可压缩流体的 APIC

2.1 Particle to grid (P2G)

2.2 Grid operations

2.3 Grid to particle (G2P)

3. MLS-MPM（隐式）

3.1 Particle to grid (P2G)

3.2 Grid operations

3.3 Grid to particle (G2P)

4. 更新粒子的形变

5. P2G

5.1 内力计算

5.2 节点力计算

6. Grid operations

6.1 强边界条件（BC）

6.1.1 sticky 边界条件

6.1.2 slip 边界条件（滑移）

6.1.3 separate 边界条件（分离）

6.1.4 施加额外的外力

7. 本构模型

7.1 弹性固体

7.1.1 形变更新

7.1.2 超弹性材料模型的 PK1 应力

Neo-Hookean 模型

（Fixed）Corotated 模型

7.2 弱可压缩流体

7.2.1 体积比

7.2.2 简易状态方程

7.2.3 形变更新

7.2.4 简单实现弱可压缩流体

8. 奇异值分解（SVD）

8.1 SVD 定义

8.2 奇异值分解的唯一性

8.3 模拟弹塑性固体

8.3.1 “Box” 屈服准则

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