【算法学习】求得一定数值范围内的所有质数
14天阅读挑战赛
努力是为了不平庸~
算法学习有些时候是枯燥的,这一次,让我们先人一步,趣学算法!欢迎记录下你的那些努力时刻(算法学习知识点/算法题解/遇到的算法bug/等等),在分享的同时加深对于算法的理解,同时吸收他人的奇思妙想,一起见证技术er的成长~
0. 引子
在面试过程当中,经常会遇到一些算法相关的问题,比如:求100以内的所有质数。
今天我们由这个问题入手,探讨一下算法的用处。
1、概念
质数(prime number)又称素数,有无限个。质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。
2、算法设计
假设要判断的数值为n,只需对除数进行遍历,从2到n-1即可。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class TestPrime {public static void main(String[] args) {//存储质数List<Integer> primeList = new ArrayList<>();int n = 100;//循环次数int count = 0;for(int i=2;i<=n;i++){//质数标识boolean isPrime = true;for(int j=2;j<=i-1;j++){count++;if(i%j==0){isPrime = false;}}if(isPrime){primeList.add(i);}}//打印质数System.out.println(primeList.toString());//打印循环次数System.out.println(count);}
}
输出结果为:
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
4851
总共循环了4851次。
考虑如下三个问题:
算法是否正确?
算法复杂度如何?
算法能否改进?
2.1 算法是否正确?
从打印出来结果来看,全是质数,算法结果没有问题。
2.2 算法复杂度如何?
for(int i=2;i<=n;i++){ ============》时间复杂度为 n
//质数标识
boolean isPrime = true;
for(int j=2;j<=i-1;j++){ ============》时间复杂度为 n/2
count++;
if(i%j==0){
isPrime = false;
}
}
整体复杂度为n^2/2
2.3 算法能否改进?
能,在判断非质数条件成立时,可以使用 break 语句终止当前循环。
3、算法优化一
当前数值为非质数时,即结束当前层的for循环,提高执行效率。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class TestPrime {public static void main(String[] args) {//存储质数List<Integer> primeList = new ArrayList<>();int n = 100;//循环次数int count = 0;for(int i=2;i<=n;i++){//质数标识boolean isPrime = true;for(int j=2;j<=i-1;j++){count++;if(i%j==0){isPrime = false;break;}}if(isPrime){primeList.add(i);}}//打印质数System.out.println(primeList.toString());//打印循环次数System.out.println(count);}
}
输出结果如下:
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
1133
总共循环了1133次,是上一次结果的四分之一,虽然效率有所提升,但效果并不明显,没有实现量级跃升。
还能再继续优化吗?
4、算法优化二
之前的计算中,除数是循环到了n-1,其实并没有必要,因为当除数达到n/2时,就已经到了整除n的极限了,当除数超过 n/2 + 1时,无论如何也不能将n整除了。
优化后如下:
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class TestPrime {public static void main(String[] args) {//存储质数List<Integer> primeList = new ArrayList<>();int n = 100;//循环次数int count = 0;for(int i=2;i<=n;i++){//质数标识boolean isPrime = true;for(int j=2;j<=i/2;j++){count++;if(i%j==0){isPrime = false;break;}}if(isPrime){primeList.add(i);}}//打印质数System.out.println(primeList.toString());//打印循环次数System.out.println(count);}
}
运行结果如下:
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
616
总共循环了616次,这次可以发现,执行次数较之前大幅提升了一个数量级。
还能再优化吗?
5、算法优化三
沿着4中的思路,继续分析,当除数达到n/2时,其实已经在除数为2时得到了验证,故这里已经出现了重复。
该问题的计算思路,可以转换为:计算数值n下的所有约数中,除了1和自身外,是否还存在其它数值,如果没有,就是质数。当 x^2 = n 即为约数集中最中间的数值,其它约数都分布在x的两边。
算法优化如下:
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class TestPrime {public static void main(String[] args) {//存储质数List<Integer> primeList = new ArrayList<>();int n = 100;//循环次数int count = 0;for(int i=2;i<=n;i++){//质数标识boolean isPrime = true;for(int j=2;j<=Math.sqrt(i+1);j++){count++;if(i%j==0){isPrime = false;break;}}if(isPrime){primeList.add(i);}}//打印质数System.out.println(primeList.toString());//打印循环次数System.out.println(count);}
}
输出如下:
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
237
总共循环了237次。
大家再看看,对于该算法,还有什么可以优化的空间么?
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