问题描述

已知 X∼PX(x)X \sim P_X(x)X∼PX(x)，Y=f(X)Y = f(X)Y=f(X)，求 YYY 的概率密度函数 PY(y)P_Y(y)PY(y).

解

当 fff 为递增函数时，考察 YYY 的累计分布函数FY(y)F_Y(y)FY(y):
FY(y)=Pr(Y≤y)=Pr(X≤f−1(y))=FX(f−1(y))F_Y(y) = Pr(Y \leq y) = Pr(X \leq f^{-1}(y)) = F_X(f^{-1}(y)) FY(y)=Pr(Y≤y)=Pr(X≤f−1(y))=FX(f−1(y))
故
PY(y)=dFY(y)dy=PX(f−1(y))df−1(y)dyP_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = P_X(f^{-1}(y))\frac{df^{-1}(y)}{dy} PY(y)=dydFY(y)=PX(f−1(y))dydf−1(y)
即
PY(y)=dFY(y)dy=PX(x)dxdyP_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = P_X(x)\frac{dx}{dy} PY(y)=dydFY(y)=PX(x)dydx

当 fff 为递减函数时，
FY(y)=Pr(Y≤y)=Pr(X≥f−1(y))=1−FX(f−1(y))F_Y(y) = Pr(Y \leq y) = Pr(X \geq f^{-1}(y)) = 1-F_X(f^{-1}(y)) FY(y)=Pr(Y≤y)=Pr(X≥f−1(y))=1−FX(f−1(y))
故
PY(y)=dFY(y)dy=−PX(f−1(y))df−1(y)dyP_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = -P_X(f^{-1}(y))\frac{df^{-1}(y)}{dy} PY(y)=dydFY(y)=−PX(f−1(y))dydf−1(y)

综上所述，
PY(y)=dFY(y)dy=PX(f−1(y))∣df−1(y)dy∣P_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = P_X(f^{-1}(y))\left|\frac{df^{-1}(y)}{dy}\right| PY(y)=dydFY(y)=PX(f−1(y))∣∣∣∣dydf−1(y)∣∣∣∣

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