【Ray Tracing The Rest of Your Life】第3章光线散射理论

本章不涉及代码的编写，是一个非常重要的理论章节。首先我们来看以前的采样代码，我们要总结出来一个看起来高大上的公式，拿【Ray-Tracing In Next Week】第7章添加实例(instance)这一章来说。其某个像素的颜色值是这样得到的：

vec3 color(const ray& r, hitable* world, int depth)
{hit_record rec;if (world->hit(r, 0.001f, FLT_MAX, rec)){ray scattered;vec3 attenuation;vec3 emitted = rec.mat_ptr->emitted(rec.u, rec.v, rec.p);if (depth < 50 && rec.mat_ptr->scatter(r, rec, attenuation, scattered)){//有反射则将当前发光体发出的光和散射的颜色预以叠加return emitted + attenuation*color(scattered, world, depth + 1);}elsereturn emitted; //无反射则直接取发光射出的颜色}return vec3(0.0f, 0.0f, 0.0f);
}

这个color是每个像素执行了100次（main函数里的int ns = 100;），而每一次执行又是一个递归的过程来计算反射光线，最多计算反射到50层(depth<50）

那么使用公式我们如何来总结这个过程呢，我们首先来看，当光线发生碰撞时，假如是发光体，我们有emitted，也即发出的光的RGB值。其次我们看碰撞到的物体的材质发生的散射，首先这个材质自身有颜色attenumation，然后其又有反射光线scattered，再拿当前的发光emitted+attenuation*(散射的光线新交的颜色值)。这就是整个过程。我们用公式来总结：

$color= (attenuation*color(direction))$

如何理解color(direction)呢，就是颜色值与散射光线的方向有关。

那么上面的公式其实是简化的，我们来要说明这个简化的过程，才能进行下一章节。这个公式里省略了重要的一项：

$color = \int attenuation*s(direction)color(direction)$

这个s(direction)如何理解呢，就是发生散射方向direction的分布情况，也就是它应该往哪个方向上分布的更多，哪个方向上分布的更少。我们对s(direction)这个微元做积分就相当于在任意的direction上均考虑了得到了最终的color。

根据MC的理论，s做为一个pdf，对其积分则相当于：

$color = \int attenuation*s(direction)color(direction)=attenuation*s(direction)*color(direction)/p(direction)$

而p(direction)是每个光线它的权重。然后p(direction)是余弦相关的，也即光线的入射方向与法线的夹角记为 $\theta$ ，那么若其大于90度则光线可以忽略。当一整光照射一个点时，它的反射光线不可能与法线的夹角>90度。所以p(direction)是余弦相关的，cos(90)=0，而cos(0)=1代表这个光线价值最大。而一整光线照射一个点，可以把其散射方向看成在半球之内，所以整个散射的所有可能性是针对余弦的半球积分：关于球面积分参考【数学】立体角，积分求球的表面积、体积。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos\theta sin\theta d\theta\int_{0}^{2\pi}d\phi=\pi$

那么p(direction)= $\frac{cos\theta}{\pi}$ ，这是不考虑其它任何情况，理想情况下的散射光的每条光线的权重。

而s(direction)做为光线的分布情况，也可以和余弦相关，亦可以= $\frac{cos\theta}{\pi}$ ，也即我们让向法线方向上的光更多。

那么这样p()和s()就相互约去了。这样：

$color = attenuation*color(direction)$

那么在后面的章节，我们不打算约去了，也即p()和s()我们要采用不同的公式。因为本身它们就代表着不同的含义。

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