0. 阴影：Shadow Mapping（从光栅化角度实现）

⭐1.光线追踪：光路(线)的可逆性、光的折射、着色贡献度

1.0 Why Ray Tracing？光栅化的局限性

1.1 Recursive (Whitted-Style) Ray Tracing：模拟光不断弹射的过程

1.2 光线与表面求交 Ray-Surface Intersection

1.2.1 光线方程：r(t) = o + td

1.2.2 光线与球体求交：

1.2.3 光线与隐式表面求交：

⭐1.2.4 光线与三角形网格求交：两种方法

⭐2. 光线追踪加速：

2.1 Bounding Volumes：AABB（轴对齐包围盒）

⭐2.2.1 判断光线是否与AABB相交：取进入时间最大值与离开时间最小是的交集

2.2 空间划分

2.2.1 Oct-Tree、KD-Tree、BSP-Tree

⭐2.2.2 KD-Tree的光线求交判断过程：

2.3 物体划分：Object Partitions & Bounding Volume Hierarchy(BVH)

⭐3.辐射度量学(Radiometry)

3.0 Motivation

3.1 Radiant Energy & Flux（Power）

3.1.1 Radiant Energy：能量

3.1.2 Radiant Flux：Lumen(流明)、功率

3.2 Radiant Intensity：每立体角发射的光强度

3.3 Irradiance：每单位表面接受多少能量

3.3.1 Lamber's Cosint Law：表面接受的能量只与垂直方向有关

3.4 Radiance：每单位立体角、每单位表面接受、发射多少能量（描述光线）

3.4.1 Incident Radiance：每单位立体角到达表面的Irradiance

3.4.2 Exiting Radiance：每单位面积离开表面发射的Intensity

⭐3.5 Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF)：描述光从某个方向入射进来并且沿某方向反射出去的能量

3.5.1 反射方程：所有入射光对一条反射光线的贡献

3.5.2 渲染方程The Rendering Equation：反射方程+自身发光项

⭐3.5.3 全局光照：对反射方程的理解—直接光照+间接关照

4.蒙特卡洛路径追踪

4.1 蒙特卡洛积分：求一个复杂函数的定积分—解析解-->数值解

4.2 路径追踪

4.2.1 蒙特卡洛法求定积分（简单情形：直接光照）

4.2.2 蒙特卡洛求定积分（全局光照）

0. 阴影：Shadow Mapping（从光栅化角度实现）

思想：

一个可见点，你的视线可以看到，光源也可以看到

一个不可见点（阴影），你的视线可以看到，光源看不到

经典的Shadow Mapping 只能处理点光源的情形（硬阴影，边界非黑即白）

1.从光源出发，看向各个像素点，记录各个点的深度

2.从相机出发，从看到的点投影回光源，记录一个深度，若此点可见，则两次深度影响同

3.从相机出发，从看到的点投影回光源，记录一个深度，发现深度与从光源出发的深度不同，则为阴影

如果一个物体有软阴影，那么它的光源一定是有大小的。

硬阴影与软阴影的区别与原理，即本影(Umbra)和半影(Penumbra)的区别。

由此，shadow maps存在着一些问题：

⭐1.光线追踪：光路(线)的可逆性、光的折射、着色贡献度

1.0 Why Ray Tracing？光栅化的局限性

光栅化的局限性：

无法处理光线多次弹射的情况，即全局光照
光栅化虽快，但质量相对较低

1.1 Recursive (Whitted-Style) Ray Tracing：模拟光不断弹射的过程

引用课上闫老师的原话做一个精炼：

这是一个玻璃球，从视线发出的光线，会发生两种情况：折射与反射

着色发生了变化：原本只关注该点能否被光源照亮，只计算一次；Whitted-Style是考虑如果光源能够照亮任何一个可以发生弹射的点，就都把他们着色的值加到像素的值上去。

考虑光的能量损失。

计算光在不同次数下的折射的各个光路结果累加到一个像素中去。

在每一个弹射的点，都会计算其着色的值。最后都会被累加到视线穿过的像素点。

1.2 光线与表面求交 Ray-Surface Intersection

1.2.1 光线方程：r(t) = o + td

1.2.2 光线与球体求交：

$(o+td)^2-R^2=0$

1.2.3 光线与隐式表面求交： $f(o+td)=0$

⭐1.2.4 光线与三角形网格求交：两种方法

分解：先求光线与表面交点，再判断交点是否在三角形内
平面法线与平面内一点确定平面方程，与光线方程相等
Möller Trumbore Algorithm：重心坐标，直接判断三角形与光线相交，克莱姆法则

⭐2. 光线追踪加速：

最基本的光线追踪会与场景中所有的三角形面求交，并且要计算每一个像素的值，Very Slow！

2.1 Bounding Volumes：AABB（轴对齐包围盒）

与x,y,z轴平行的三个面，故称轴对齐。

⭐2.2.1 判断光线是否与AABB相交：取进入时间最大值与离开时间最小是的交集

当光线穿过所有轴对齐面，即为进入AABB
当光线只要离开其中一个面，即离开AABB
当光线进入Box时间小于离开Box时间，即光源就在Box内部

这里考虑如下前提：光线是射线！，与集中特殊几种情况：

$t_{exit}<0$ ：Box在光源之后，即光线与Box无交点！
$t_{exit}\geqslant 0$ && $t_{enter}< 0$ ：光源在Box内部，有交点！

总之，当且仅当： $t_{enter}<t_{exit}$ && $t_{exit}\geq 0$ ，光线与Box才有交点！

那为什么要用轴对称这一性质呢？原因很简单，免去了计算不平行与轴平面的法线的麻烦！

2.2 空间划分

2.2.1 Oct-Tree、KD-Tree、BSP-Tree

Oct-Tree：类似于切豆腐，三维物体切三刀，分为八块；二维物体切两刀，分为四块；以此类推。

如何切？比如在二维空间中切两刀（多了4块），发现这部分切完之后有三块都是空的，那就没必要继续切下去了。当然这只是一个直观理解上的例子，实际上什么时候停下来取决于具体约束，比如这部分有多少数量的物体即可停下，或者当这个格子是空的时候为止。

但随着维度增加，切的空间称指数级上升。

KD-Tree：每次沿着某一个水平或垂直轴(xyz)划分，为二分

⭐2.2.2 KD-Tree的光线求交判断过程：

但

如何判断三角形与AABB有交点是一件很难的事，所以KD-Tree逐渐减少了使用。
一个物体有可能出现在多个叶子节点中，也就是多个格子里。

2.3 物体划分：Object Partitions & Bounding Volume Hierarchy(BVH)

把物体分为两堆，重新计算包围盒

快速选择算法：快速选择算法 - Salty_Fish - 博客园 (cnblogs.com)

⭐3.辐射度量学(Radiometry)

3.0 Motivation

光的强度 Intensity？etc...

给光的各方面物理意义一个精确的定义！

3.1 Radiant Energy & Flux（Power）

3.1.1 Radiant Energy：能量

3.1.2 Radiant Flux：Lumen(流明)、功率

3.2 Radiant Intensity：每立体角发射的光强度

3.3 Irradiance：每单位表面接受多少能量

3.3.1 Lamber's Cosint Law：表面接受的能量只与垂直方向有关

3.4 Radiance：每单位立体角、每单位表面接受、发射多少能量（描述光线）

3.4.1 Incident Radiance：每单位立体角到达表面的Irradiance

3.4.2 Exiting Radiance：每单位面积离开表面发射的Intensity

Irrandiance与Radiance的联系与区别：积分的关系，单位的不同

⭐3.5 Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF)：描述光从某个方向入射进来并且沿某方向反射出去的能量

一个光从某个方向入射进来，会向四面八方反射出去，我们需要的是其中某一个具体的方向的反射光所携带的能量。

也可以理解为：光携带能量入射到某一个点，这个点会吸收光的能量，然后再从这个点将这部分能量反射释放出去。但是我们不知道往具体某一个方向发射的能量是多少，这时就需要这样一个函数，也就是BRDF。

BRDF描述了光线如何与物体作用，正是这一概念，决定了物体的材质，BRDF项定义了不同的材质。

3.5.1 反射方程：所有入射光对一条反射光线的贡献

3.5.2 渲染方程The Rendering Equation：反射方程+自身发光项

⭐3.5.3 全局光照：对反射方程的理解—直接光照+间接关照

反射出的光=自身发光+Sum（（点光源发光）× BRDF(材质) × 入射光角度的cos ）

若是面光源，则可由面上的点光源积分而得：

反射方程的一种线性表示形式，其目的在于理解光线追踪下，光线是由直接光照和间接光照组合而成，其中间接光照包括一次直接光照和若干次反弹（这里有些模糊，还是得再回去听一下老师的讲解）：

4.蒙特卡洛路径追踪

4.1 蒙特卡洛积分：求一个复杂函数的定积分—解析解-->数值解

想求一个积分，但是函数形式特别复杂，无法提供一个数学表达式，也就是解析的形式，来计算定积分。

如何解决？通过随机采样值得平均来近似定积分。

蒙特卡洛积分公式：

4.2 路径追踪

思考：Whitted Style的光线追踪一定对吗？

不断去弹射光线，在任何位置都连一条光线。

打到比如玻璃的物体，会发生反射或折射；

打到漫反射的物体，就停下来了。

这两件事真的对吗？

不一定。如下图，镜面反射Whitted可能是对的，但Glossy是错的，他不应该与specular一样的反射

下面一个例子更说明一个问题：光线打到diffuse的物体绝不应该停下来

Whitted是错的，但渲染方程是对的：

渲染方程要解决两个问题：

如何对其积分？（在半球面）
如何处理递归的过程？（因为弹射的每一个点都来自上一个点所接受的光）

4.2.1 蒙特卡洛法求定积分（简单情形：直接光照）

先考虑一个简单情况，此点不发光，求直接光照的积分结果，也就是说从这一点出发开始追踪，看有多少光线直接达到了光源上：

在这种简单的情况下，我们不考虑此点的自发光，并且也知道半球的PDF，那么就可对其用蒙特卡洛积分来近似结果：

其伪代码如下，很好理解，从这个点向外发出wi根光，如果有一条光线达到了光源，那么就将结果累加这部分能量积分的值。

4.2.2 蒙特卡洛求定积分（全局光照）

那么如何考虑全局光照呢？

假设追踪出去的光线达到了一个物体，而不是光源，同时这个被击中的物体也是受光源影响的，那么此时我们考虑转化问题：

将全局的光照转化为物体之间的直接光照，也就是把物体当做一个光源来看待，就成为了一个局部的直接光照，递归的去求下一个物体的直接光照。

递归的深度，也就是光从光源弹射到像素的次数。

由此，将全局光照的总弹射次数转化为局部的物体之间的“直接光照”

伪代码如下：

但仍存在两个问题：

如果一个点弹射一次，发出100根光，在下一次弹射又发出100根光，仅仅两次弹射，仅仅一个点发出的光线，就会有10000根光线发出。这种指数级别的算法是不能接受的。
递归何时停止？上文说到递归一定次数停止，但自然界中光线是可以弹射无数次的，如何解决这个问题？

此时先引入路径追踪的基本情况：当N=1时，也就是每个弹射点只发出一根光线的情形，就是路线追踪。伪代码中去掉for循环即可：

此时每个像素点计算radiance的伪代码如下：

那么N=1的情况就是路径追踪，解决了光线数量指数爆炸的问题，那么如何解决递归深度的问题？

俄罗斯轮盘赌！

也就是说，我们以一定概率停止继续往下进行路径追踪。

其原理也比较简单：最后概率的期望仍为定积分的结果：

原理上是对的，但仍然存在一些问题：能不能达到光源完全看运气！

由于是基于概率的事件，点发出的光线数量和光源的大小与概率有很大关系！

很多光线都浪费掉了！

此时需要考虑其他的采样方法。

我们考虑，不在从四面八方进行采样，只考虑在光源的区域进行采样。

但这里有个问题，我在光源区域上采样，却在点的半球区域立体角进行积分，

那么得把渲染方程写成在光源上的积分。如下，需要一个对应关系：单位立体角和单位面积

最后考虑最后一种情况：直接光照是否有物体遮挡

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