概括：这道题是蓬突压同学的课后数学练习题，主要是关于素数定理，指导老师为苏老师。

题目：素数定理解：

定理描述素数素数的大致分布情况.素数的出现规律一直困惑著数学家.一个个地看,素数在正整数中的出现没有什么规律.可是总体地看,素数的个数竟然有规可循.对正实数x,定义π(x)为不大于x的素数个数.数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长.以下是第一个这样的估计.:\pi(x)\approx\frac 其中ln x为x的自然对数.上式的意思是当x趋近∞,π(x) 和x/ln x的比趋近1(注：该结果为高斯所发现).但这不表示它们的数值随着x增大而接近.下面是对π(x)更好的估计：:\pi(x)= (x) + O \left(x e^\right),当 x 趋近∞.其中 (x) = \int_2^x \frac,而关系式右边第二项是误差估计,详见大O符号.下表比较了π(x),x/ln x和Li(x)：x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)

举一反三

例1：

【“素数的唯一分解定理”是个啥?rt】[数学练习题]

思路提示：

每一个大于1的整数都可以表示成若干素数的乘积形式,如果不考虑顺序,这种表示是唯一的.

例2：

请问质数的定义是什么大质数加密的原理是什么

思路提示：

只能被1和本身整除的数叫质数,例如13,质数是无穷多的.得到两个巨大质数的乘积是简单的事,但想从该乘积反推出这两个巨大质数却没有任何有效的办法,这种不可逆的单向数学关系,是国际数学界公认的质因数分解难题.

R、S、A三人巧妙利用这一假说,设计出RSA公匙加密算法的基本原理：1、让计算机随机生成两个大质数p和q,得出乘积n；2、利用p和q有条件的生成加密密钥e；3、通过一系列计算,得到与n互为质数的解密密钥d,置于操作系统才知道的地方；4、操作系统将n和e共同作为公匙对外发布,将私匙d秘密保存,把初始质数p和q秘密丢弃.

国际数学和密码学界已证明,企图利用公匙和密文推断出明文--或者企图利用公匙推断出私匙的难度等同于分解两个巨大质数的积.这就是Eve不可能对Alice的密文解密以及公匙可以在网上公布的原因.

至于"巨大质数"要多大才能保证安全的问题不用担心：利用当前可预测的计算能力,在十进制下,分解两个250位质数的积要用数十万年的时间；并且质数用尽或两台计算机偶然使用相同质数的概率小到可以被忽略.

例3：

陈景润“1+2”定理：一个偶数=一个质数+一个质数×一个质数，其中偶数必须充分大．请根据这个定理分一分下面的偶数．20=______+______×______30=______+______×______40=______+______×______．[数学练习题]

思路提示：

由题意得：

20=5+3×5；

30=5+5×5；

40=5+5×7；

故答案为：5，3，5；5，5，5；5，5，7．

例4：

质数与合数定理都有哪些?[数学练习题]

思路提示：

质数就是只有1和它本身这两个因数(如1,2,3,5,7,11……)

合数不止两个因数(4,6,8,9……)

相关思考练习题：

题1：素数定理的介绍

点拨：定理描述素数的比较准确的分布情况。素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长...

题2：素数定理是什么？

点拨：质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数(1和自己)的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。合数是由若干个质数相乘而得到的。所以...

题3：素数定理何时证明出来的 a，1893年 b，1894年 c，1...

点拨：那只是以,e，为底的近似于对数的算。很不正确，推算数据越大误差越大。请看看我的“终极素数定理”既自然、正确、全面。确是一个完美的定理。丌(X)=X*(Pi-1)！/Pi！+i 这是终极素数定理的函数式供大家分享。我是瑞安市何世梁

题4：关于一个素数定理的证明

点拨：因为gcd(a,n)=1可以推出a^(\phi(n)-1) = 1 (mod n) 【费马小定理的一般形式，证明可以考虑一个mod n的完全剩余系】 然后由定理2的条件知道\phi(n)不能是1到n-2，所以只能是\phi(n)=n-1。(定理2条件中是否应该是小于等于n-1？也可以证明除了n=4...

题5：证明素数定理

点拨：这个不是素数定理, 而是Bertrand假设(也叫Bertrand-Chebyshev定理), 自己去搜一下证明就行了