试题历届真题皮亚诺曲线距离【第十一届】【决赛】【C组】

2024-06-02 07:37:16

试题历届真题皮亚诺曲线距离【第十一届】【决赛】【C组】

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皮亚诺曲线距离

时间复杂度O(k)

思路:

对于k阶皮亚诺曲线点(0, 0)->(x, y)的距离表示为

pyn(k, x, y)

0 <= x, y <= 3^k-1

观察1阶皮亚诺曲线可得

pyn(1, x, y) = { {0, 1, 2},

{5, 4, 3},

{6, 7, 8}};

0 <= x, y <= 2

而对于k>1阶的皮亚诺曲线, 可以把k阶皮亚诺曲线的每个格子扩展为1阶皮亚诺曲线, 即可得到k+1阶皮亚诺曲线

这里可以将所求pyn(k, x, y)距离分为两段

pyn(k, x, y) =

pyn(1, x/p, y/p) (1阶皮亚诺曲线距离, p = 3^(k-1))

*

(3^p)^2 (将整个k阶皮亚诺曲线划分为1阶皮亚诺曲线, 1单元格内的总数(总距离))

+

pyn(k-1, x1, y1) (x1, y1为k阶x, y映射到k-1阶坐标, 整个含义为最后一个不完整单元格在k-1阶起点到(x1, y1)的距离)

映射规则:

if(x/p == 1) y = p - 1 - y; 既划分后1阶皮亚诺曲线, x坐标为1的翻转y

if(y/p == 1) x = p - 1 - x; y坐标为1的翻转x

举例:

样例2

2

0 2

0 3

将2阶皮亚诺曲线S划分为9个1阶皮亚诺曲线si, i=[0, 8], 观察可得

s1内的与s0连接的起点(2, 3)->x2(0, 3)的距离相当于截取点(0, 3)在s1内的坐标(x %= p, y %= p), 并翻转x坐标x0 = 3-1-0, y0 = 0(既把点(2, 3)当做1阶皮亚诺曲线的原点)

即可得到点x2(0, 3)的距离为

pyn(2, 0, 3) =

pyn(1, 0, 1) = 1

*

(3 ^ 1) ^ 2 = 9

+

pyn(1, 2, 0) = 6

= 1 * 9 + 6

= 15

同理可得

pyn(2, 0, 2) = 2

样例2结果为15 - 2 = 13

#include <iostream>using namespace std;typedef long long LL;//预存1阶皮亚诺曲线的距离矩阵
LL lengths[3][3] = {{0, 1, 2}, {5, 4, 3}, {6, 7, 8}};LL pw[200];//3的i次幂//初始化3的i次幂
void init()
{pw[0] = 1;for (int i = 1; i <= 39; i++) pw[i] = pw[i - 1] * 3;
}//计算距离并变换x, y
LL get_length(LL p, LL &x, LL &y)
{LL ix = x/p, iy = y/p;x %= p, y %= p;if(ix == 1) y = p - 1 - y;if(iy == 1) x = p - 1 - x;return lengths[ix][iy];
}//k阶皮亚诺曲线点(0, 0)到点(x, y)的距离
LL pyn(LL k, LL x, LL y)
{if(k == 1) return lengths[x][y];else return pw[k-1] * pw[k-1] * get_length(pw[k-1], x, y) + pyn(k-1, x, y);
}int main()
{LL k, sx, sy, ex, ey;cin >> k >> sx >> sy >> ex >> ey;if(k>=40)k=39;//k>40无效且爆long longinit();LL ans = pyn(k, sx, sy) - pyn(k, ex, ey);//可以使用llabs, 切忌使用abscout << (ans>0 ? ans : -ans) << endl;return 0;}

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