第四章 LTI系统的变换域分析

系统函数与频域响应

系统函数：将LTI系统的单位脉冲响应h[n]h[n]h[n]的z变换称为系统函数，表示为H(z)=∑n=−∞∞h[n]z−nH(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]z^{-n}H(z)=∑n=−∞∞h[n]z−n

频域响应：将LTI系统的单位脉冲响应h[n]h[n]h[n]的傅里叶变换称为系统的频域响应，表示为H(ejω)=∑n=−∞∞h[n]e−jωnH(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]e^{-j\omega n}H(ejω)=∑n=−∞∞h[n]e−jωn

系统分类

全通系统：在整个−π≤ω<π-\pi≤\omega<\pi−π≤ω<π区间幅度响应为常数的系统是没有幅度失真的系统，称为全通系统

Hap (z)=A∏k=1Mrz−1−dk1−dkz−1∏k=1Mc((z−1−ek∗)(z−1−ek)(1−ekz−1)(1−ek∗z−1))H_{\text {ap }}(z)=A \prod_{k=1}^{M_{r}} \frac{z^{-1}-d_{k}}{1-d_{k} z^{-1}} \prod_{k=1}^{M_{c}}\left(\frac{\left(z^{-1}-e_{k}^{*}\right)\left(z^{-1}-e_{k}\right)}{\left(1-e_{k} z^{-1}\right)\left(1-e_{k}^{*} z^{-1}\right)}\right)Hap (z)=A∏k=1Mr1−dkz−1z−1−dk∏k=1Mc((1−ekz−1)(1−ek∗z−1)(z−1−ek∗)(z−1−ek))

全通系统的零极点互为共轭倒数关系Q:是一定都要有吗？还是只要满足幅度为constant就行？

任何一个系统级联一个幅度响应为1的全通系统，将得到一个与之幅度响应完全相同的另外一个系统；互为共轭倒数关系的两个零点（极点）对幅度响应的贡献是一样的。应用：如果一个IIR系统具有位于单位圆外的极点，即不是因果稳定的，则可以通过将单位圆外的极点替换成它的共轭倒数极点的方式，把系统变成因果稳定系统同时幅度响应保持不变。这一方法被应用于IIR滤波器的最小均方误差设计中。

零相位系统在整个−π≤ω<π-\pi≤\omega<\pi−π≤ω<π区间相位响应全为零的系统是没有相位失真的系统

线性相位系统：相位是ω\omegaω的线性函数的系统

最小相位系统：定义零点和极点都在单位圆内的系统，系统函数用Hmin(z)H_{min}(z)Hmin(z)表示

对于最小相位系统的理解

相关文章摘录

相位延迟最小，响应时间最小，能量延迟最小

相关习题

Q:为什么最小相位系统A可以级联全通系统H到B，但B也可以级联H−1H^{-1}H−1到A，那到底A和B谁的相位更小？

最大相位系统：极点和零点全在单位圆外的系统为，系统函数用Hmax(z)H_{max}(z)Hmax(z)表示

有理函数系统：系统函数可以表示为两个z−1z^{-1}z−1的多项式之比

任意有理系统函数都能表示成最小相位系统和全通系统的级联，即：H(z)=Hmin(z)Hap(z)H(z)=H_{min}(z)H_{ap}(z)H(z)=Hmin(z)Hap(z)，若Hap(ejω)=1H_{ap}(e^{j\omega})=1Hap(ejω)=1，则∣H(ejω)∣=∣Hmin(ejω)∣|H(e^{j\omega})|=|H_{min}(e^{j\omega})|∣H(ejω)∣=∣Hmin(ejω)∣

例：求解因果稳定的补偿系统幅度失真的方法

将原系统函数写成H(z)=Hmin(z)Hap(z)H(z)=H_{min}(z)H_{ap}(z)H(z)=Hmin(z)Hap(z)的形式，由于Hmin(z)H_{min}(z)Hmin(z)的零极点都在单位圆内，可以先找出不符合要求的点，然后整体替换成全通系统的一部分

由于求解的是因果稳定的补偿系统，故当H(z)H(z)H(z)有单位圆外或∞\infty∞的零点时不可用1/H(z)1/H(z)1/H(z)，而采用1/Hmin(z)1/H_{min}(z)1/Hmin(z)。

全极点系统：零点只在原点或∞\infty∞

根据有理系统函数确定频域的两种方法：

公式法

如果H(z)H(z)H(z)的收敛域包含单位圆∣z∣=1|z|=1∣z∣=1，即系统稳定，则频域响应H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω)存在。单位圆上（z=ejωz=e^{j\omega}z=ejω）的系统函数就是系统的频域响应，即H(ejω)=H(z)∣z=ejωH(e^{j\omega})=H(z)|_{z=e^{j\omega}}H(ejω)=H(z)∣z=ejω

几何法

H(ejω)=H(z)∣z=ejω=b0a0e−jω(M−N)∏k=1M(ejω−ck)∏k=1N(ejω−dk)H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left.H(z)\right|_{z=\mathrm{e} ^{j\omega}}=\frac{b_{0}}{a_{0}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega(M-N)} \frac{\prod_{k=1}^{M}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-c_{k}\right)}{\prod_{k=1}^{N}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-d_{k}\right)}H(ejω)=H(z)∣z=ejω=a0b0e−jω(M−N)∏k=1N(ejω−dk)∏k=1M(ejω−ck)

其中，分子的因子 (ejω−ck)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega}-c_{k}\right)(ejω−ck) 是非零零点 ckc_{k}ck 至单位圆上点 ejω\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega}ejω 的矢量, 称为零点矢量; 分母因子 (ejω−dk)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-d_{k}\right)(ejω−dk) 是非零极点 dkd_{k}dk 至单位圆上点 ejω\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega}ejω 的矢量, 称为极点矢量。

幅度响应和相位响应分别为：

∣H(ejω)∣=∣b0a0∣∏k=1M∣ejω−ck∣∏k=1N∣ejω−dk∣arg⁡[H(ejω)]=arg⁡[b0a0]+∑k=1Marg⁡[ejω−ck]−∑k=1Narg⁡[ejω−dk]+(N−M)ω\begin{array}{c} \left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|=\left|\frac{b_{0}}{a_{0}}\right| \frac{\prod_{k=1}^{M}\left|\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-c_{k}\right|}{\prod_{k=1}^{N}\left|\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-d_{k}\right|} \\ \arg \left[H\left(\mathrm{e}^{j \omega}\right)\right]=\arg \left[\frac{b_{0}}{a_{0}}\right]+\sum_{k=1}^{M} \arg \left[\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-c_{k}\right]-\sum_{k=1}^{N} \arg \left[\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}-d_{k}\right]+(N-M) \omega \end{array}∣∣H(ejω)∣∣=∣∣∣a0b0∣∣∣∏k=1N∣ejω−dk∣∏k=1M∣ejω−ck∣arg[H(ejω)]=arg[a0b0]+∑k=1Marg[ejω−ck]−∑k=1Narg[ejω−dk]+(N−M)ω

例：一个具有两个零点和极点的LTI系统的频率几何法

幅度响应和相位响应分别为：

∣H(ejω0)∣=CL1L2L3arg⁡[H(ejω0)]=D+ϕ1−ϕ2−ϕ3+ω0\begin{array}{r} \left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}\right)\right|=C \frac{L_{1}}{L_{2} L_{3}} \\ \arg \left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{0}}\right)\right]=D+\phi_{1}-\phi_{2}-\phi_{3}+\omega_{0} \end{array}∣∣H(ejω0)∣∣=CL2L3L1arg[H(ejω0)]=D+ϕ1−ϕ2−ϕ3+ω0

讨论：

系统函数的零点和极点完全决定了系统的频率响应(常数C和D不影响频响的本质特征)，其中圆点处的零点或极点到单位圆的距离为1，所以不影响幅度响应，但影响相位响应。当单位圆上的点转到某个极点附近时，因为该极点矢量达到最短,所以幅度响应在该ω\omegaω处出现极大值(峰值)。极点越靠近单位圆,峰值就越尖锐;当极点处在单位圆上时，对应的ω\omegaω的幅度响应为∞\infty∞，这相当于在该频率处出现无耗谐振;当极点越出单位圆时，系统就处于不稳定状态，这是不希望出现的。当单位圆上的点转到某个零点附近时，因为该零点矢量达到最短，所以幅度响应在该ω\omegaω处出现极小值(谷点)。零点越靠近单位圆，谷点就越尖锐;当零点处在单位圆上时，对应的ω\omegaω的幅度响应为零;零点可超出单位圆外，对稳定性没有影响。

广义线性相位系统的变换域分析

线性相位系统

频率响应满足H(ejω)=∣H(ejω)∣e−jωα,−π<ω<πH\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right| \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \alpha}, \quad-\pi<\omega<\piH(ejω)=∣∣H(ejω)∣∣e−jωα,−π<ω<π
幅度 ∣H(ejω)∣\left|H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|∣∣H(ejω)∣∣ 是一个非负的 ω\omegaω 的实数函数, α\alphaα 是实数
相位是 ω\omegaω 的线性函数, 即arg⁡[H(ejω)]=−ωα,−π<ω<π\arg \left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]=-\omega \alpha, \quad-\pi<\omega<\piarg[H(ejω)]=−ωα,−π<ω<π

广义线性相位系统

频率响应满足H(ejω)=A(ejω)e−jωα+jβ,−π<ω<πH\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j\omega} }\right)=A\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j\omega} \alpha+\mathrm{j} \beta}, \quad-\pi<\omega<\piH(ejω)=A(ejω)e−jωα+jβ,−π<ω<π
广义幅度 A(ejω)A\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)A(ejω) 是 ω\omegaω 的实数函数, 取值可以大于等于或小于零; α\alphaα 和 β\betaβ 是实数;
广义相位是 ω\omegaω 的线性函数加上常数项, 即ϕ(ω)=−ωα+β,−π<ω<π\phi(\omega)=-\omega \alpha+\beta, \quad-\pi<\omega<\piϕ(ω)=−ωα+β,−π<ω<π

零相位系统是一种特殊的线性相位系统, 线性相位系统又是广义线性相位系统的特例, 它们都具有常数群延迟特性, 即

grd⁡[H(ejω)]=−dϕ(ω)dω=α,−π<ω<π\operatorname{grd}\left[H\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right]=-\frac{\mathrm{d}\phi(\omega)}{\mathrm{d}\omega}=\alpha, \quad-\pi<\omega<\pigrd[H(ejω)]=−dωdϕ(ω)=α,−π<ω<π

所以线性相位系统和广义线性相位系统统称为常数群延迟系统。

充分条件：

{β=0或 π2α=M=整数 h[2α−n]=h[n]和 {β=π/2或 3π/22α=M=整数 h[2α−n]=−h[n]\left\{\begin{array} { l l } { \beta = 0 \text { 或 } \pi } \\ { 2 \alpha = M = \text { 整数 } }\\ { h [ 2 \alpha - n ] = h [ n ] } \end{array} \quad \text { 和 } \quad \left\{\begin{array}{l} \beta=\pi / 2 \text { 或 } 3 \pi / 2 \\ 2 \alpha=M=\text { 整数 } \\ h[2 \alpha-n]=-h[n] \end{array}\right.\right.⎩⎨⎧β=0 或 π2α=M= 整数 h[2α−n]=h[n] 和 ⎩⎨⎧β=π/2 或 3π/22α=M= 整数 h[2α−n]=−h[n]

因果广义线性相位FIR系统

h[n]={±h[M−n],0⩽n⩽M0,其他 h[n]=\left\{\begin{array}{ll} \pm h[M-n], & 0 \leqslant n \leqslant M \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right.h[n]={±h[M−n],0,0⩽n⩽M 其他

H(z)=∑n=0Mh[n]z−n=∑n=0M±h[M−n]z−n=∑k=0±h[m]zmz−M=±z−MH(z−1)H(z)=\sum_{n=0}^{M} h[n] z^{-n}=\sum_{n=0}^{M} \pm h[M-n] z^{-n}=\sum_{k=}^{0} \pm h[m] z^{m} z^{-M}=\pm z^{-M} H\left(z^{-1}\right)H(z)=∑n=0Mh[n]z−n=∑n=0M±h[M−n]z−n=∑k=0±h[m]zmz−M=±z−MH(z−1)

因果广义线性相位系统必是一个FIR系统，h[n]h[n]h[n]的长度为M+1，对称中心是M/2M/2M/2

零极点：设h[n]h[n]h[n]为实序列：零点（极点）g共对称；广义线性相位系统：零点（极点）互为倒数

分类

	h[n]h[n]h[n]	M	H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω)	ϕ(ω)\phi(\omega)ϕ(ω)	零点
第1类	h[n]=h[M−n]h[n]=h[M-n]h[n]=h[M−n]	even	e−jωM/2∑n=0Mh[n]cos⁡[(M2−n)ω]\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega M / 2} \sum_{n=0}^{M} h[n] \cos \left[\left(\frac{M}{2}-n\right) \omega\right]e−jωM/2∑n=0Mh[n]cos[(2M−n)ω]	−ωM/2-\omega M / 2−ωM/2
第2类	h[n]=h[M−n]h[n]=h[M-n]h[n]=h[M−n]	odd	same as 1	−ωM/2-\omega M / 2−ωM/2	-1
第3类	h[n]=−h[M−n]h[n]=-h[M-n]h[n]=−h[M−n]	even	e−jωM/2+jπ/2∑n=0Mh[n]cos⁡[(M2−n)ω−π2]\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega M / 2+j \pi / 2} \sum_{n=0}^{M} h[n] \cos \left[\left(\frac{M}{2}-n\right) \omega-\frac{\pi}{2}\right]e−jωM/2+jπ/2∑n=0Mh[n]cos[(2M−n)ω−2π]	−ωM/2+π/2-\omega M / 2+\pi / 2−ωM/2+π/2	±1\pm1±1
第4类	h[n]=−h[M−n]h[n]=-h[M-n]h[n]=−h[M−n]	odd	same as 3	−ωM/2+π/2-\omega M / 2+\pi / 2−ωM/2+π/2	1

因果广义线性相位

题型：滤波器选择

方法1：几何法

越靠近正实轴为低频，负实轴为高频

方法2：代数法

通过H(z)=±z−MH(z−1)H(z)=\pm z^{-M} H(z^{-1})H(z)=±z−MH(z−1)，对高频和低频部分进行判断，即z=±1z=\pm1z=±1的零点情况