切比雪夫近似值是什么

计算机计算正弦余弦等函数，都不太可能直接泰勒级数展开，因为太耗费计算资源了。除非特殊需要，一般都是使用切比雪夫近似值计算的。当然更不可能用割圆术，割圆术其实是古代中国微积分思想的雏形，只是由于各种原因，没有发展成微积分，实在可惜。
假如要计算自然对数ln(x)，可以用一个N次多项式去代替，比如五次多项式：
ln(x)≈ax5+bx4+cx3+dx2+ex+fln(x) ≈ax^5 + bx^4+ cx^3 +dx^2+ ex + f ln(x)≈ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f
那么只找到合适的a、b、c、d、e、f这六个参数，就可以计算出比较接近的自然对数啦。但是我们知道，ln(x)ln(x)ln(x)的增长速度和多项式函数完全不同，所以这个近似，也只是在一定范围（定义域）内近似。超出了范围，误差就非常离谱了。
这种在有限的定义域内最接近的多项式近似值，就叫做切比雪夫近似值。给张切比雪夫的照片：

计算机的正弦、余弦等三角函数都是用切比雪夫多项式近似值来计算的。特别是正弦余弦函数在2D/3D游戏中用得特别多，而游戏的计算不需要那么高的精度，所以切比雪夫近似值成为了最佳的选择。
假设有一个函数F(x)，切比雪夫提出，一个区间内，存在唯一的一个N阶多项式P(x)，F(X)与P(X)的最大绝对误差是最小的。
这个多项式切比雪夫怎么证明的，过程是怎么样的？
我不细讨论，我也讨论不来，因为看不懂。同时，切比雪夫搞了个定理：
假设区间为[a, b]。如果Pn(x)P_n(x)Pn(x)是n阶的最小误差多项式，那么在这个区间内，至少存在N+2个最大误差点，并且这些点的误差值是按顺序一正一负的。
多项式函数比目标函数大，就是正误差，比目标函数小，就是负误差。以切比雪夫近似值接近步进函数为例子(图片来自GNU组织)：

因为这些误差点，一正一负，缠绕在目标函数的图形上，所以又叫切比雪夫交错点。直白地理解，如果不是缠绕，就有两种情况，一是都在图像下边，多项式函数是波浪线曲线，这时波浪线的顶点误差比底部误差小，那么最大误差点数量就只有多项式次数的一半。反之，也一样，所以只能缠绕在目标函数上，形成交错点。但是数学的证明不能用大白话去证明，必须用数学语言给出严谨的过程，这里我就不给出了，有兴趣的可以自己去网络上搜一搜。

常见函数的近似值

大部分切比雪夫近似值不要自己去计算，前人已经帮我们计算好了，以下是两个三角函数在[−π16,π16][-\frac\pi{16},\frac\pi{16}][−16π,16π]范围内的近似值，也是C语言、Java语言、Python语言等编程语言计算正弦余弦函数的底层实现。计算三角函数时，先要使用缩参算法，把参数减去2nπ2n\pi2nπ，缩参到[−π,π][-\pi,\pi][−π,π]内，然后再使用三角恒等式，在[−π16,π16][-\frac\pi{16},\frac\pi{16}][−16π,16π]内计算：
sin(x)≈(((0.000027553817452272217x2−0.00019841269659586505)x2+0.008333333333329196)x2−0.16666666666666666)∗x3+xcos(x)≈(((0.00002.479773539153719x2−0.0013888888689039883)x2+0.041666666666621166)x2−0.49999999999999994)x2+1sin(x) ≈ (((0.000027553817452272217x^2 -0.00019841269659586505)x^2 \\+ 0.008333333333329196)x^2-0.16666666666666666)*x^3 + x\\ cos(x) ≈ (((0.00002.479773539153719x^2-0.0013888888689039883)x^2 \\+ 0.041666666666621166)x^2 -0.49999999999999994)x^2 + 1 sin(x)≈(((0.000027553817452272217x2−0.00019841269659586505)x2+0.008333333333329196)x2−0.16666666666666666)∗x3+xcos(x)≈(((0.00002.479773539153719x2−0.0013888888689039883)x2+0.041666666666621166)x2−0.49999999999999994)x2+1

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8.1 切比雪夫近似值求正余弦

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切比雪夫近似值是什么

常见函数的近似值

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