SAR成像(一)：线性调频信号(LFM)和脉冲压缩

文章仅为个人理解，如有不妥之处欢迎指正。

1、脉冲压缩目的和意义
在雷达系统中，距离分辨率是很重要的一项性能指标，它决定了雷达能分辨两个单元之间的最小距离，更通俗的，即雷达分辨相离较近物体的能力。而决定雷达分辨率的是发射信号带宽，所以我们想要提高距离分辨率，就需要发射更窄的脉冲信号，但是，窄脉冲就意味着发射信号能量小，导致探测距离短，所以，对于一般的脉冲信号（脉宽、时宽乘积约为1），比如矩形脉冲信号，带宽和时宽不能同时增大，因此距离分辨率和探测距离是一对矛盾。
脉冲压缩技术就能比较好的解决上述两个参量之间的矛盾，用宽脉冲发射信号，保证足够的探测距离，在接收端用相应的匹配滤波器，通过脉冲压缩技术得到窄脉冲，以此来提高距离分辨率。

2、线性调频信号
大时宽的宽频信号有很多形式，在雷达系统中最常用的是线性调频（Linear Frequency Modulation）脉冲信号。LFM脉冲信号的载频在脉冲宽度范围内线性变化，因此也有更宽的带宽。
LFM信号的复数表达式为：
s(t)=rect(tτ)ej2π(f0+Kt2/2)s(t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{j2\pi(f_{0}+Kt^{2}/2)} s(t)=rect(τt)ej2π(f0+Kt2/2)
其中，f0f_{0}f0为初始载频，τ\tauτ为脉冲宽度，KKK为发射线性调频信号的调频斜率，且
rect(tτ)={1,∣t∣≤τ/20,∣t∣≥τ/2rect(\frac{t}{\tau})=\begin{cases} 1, \text{ $|t|\leq \tau/2$} \\ 0, \text{ $|t|\geq\tau/2$} \end{cases}rect(τt)={1, ∣t∣≤τ/20, ∣t∣≥τ/2 K=B/τK=B/\tauK=B/τ BBB为信号带宽。
信号的瞬时频率f(t)f(t)f(t)为：
f(t)=12πddt[2π(f0t+Kt2/2)]=f0+Ktf(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}[2\pi(f_{0}t+Kt^2/2)]=f_{0}+Kt f(t)=2π1dtd[2π(f0t+Kt2/2)]=f0+Kt
当BBB=20MHz，τ\tauτ=10μs\mu sμs时，线性调频信号波形和频谱如下图所示：

还有一点不得不强调，LFM脉冲信号的带宽和时宽都是可以自己选择的，不像矩形脉冲信号那样带宽和时宽相互制约。

3、脉冲压缩
脉冲压缩的理论基础是匹配滤波。对雷达接收的回波信号进行脉冲压缩后有两个好处：增加信噪比；压缩信号宽度。
匹配滤波是一种最优滤波器，只要我们给予输入的是某一确知信号，并加上白噪声，那么就能让输出的信噪比达到最大。
将回波信号记为f(t)f(t)f(t)，设滤波器的传输函数为H(w)H(w)H(w)，则为了满足最大输出信噪比，H(w)H(w)H(w)的表达式为：H(w)=KF∗e−jwt0H(w)=KF^*e^{-jwt_{0}}H(w)=KF∗e−jwt0
上式中，F∗F^*F∗为f(t)f(t)f(t)傅里叶变换的共轭；t0t_0t0是物理器件的时间延时；KKK为增益常数。
从时域角度看，匹配滤波器也可以用冲激函数h(t)h(t)h(t)来表示，则上式描述的滤波器冲击响应为：h(t)=Kf∗(t0−t)h(t)=Kf^*(t_0-t)h(t)=Kf∗(t0−t)
脉冲压缩要在雷达后端接收机由数字信号处理器件完成，而在这个过程中，由于器件速度的限制，脉冲压缩的过程通常需要在零中频进行，此时，线性调频信号的表达式变为：s(t)=rect(tτ)ejπKt2s(t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{j\pi Kt^{2}}s(t)=rect(τt)ejπKt2少了初始频率f0f_0f0，从h(t)h(t)h(t)的表达式可以看出，如果不考虑器件延时t0t_0t0和增益常数KKK，匹配滤波器的冲击响应是滤波器输入信号f(t)f(t)f(t)的共轭倒置，即：h(t)=f∗(−t)=rect(tτ)e−jπKt2h(t)=f^*(-t)=rect(\frac{t}{\tau})e^{-j\pi Kt^{2}}h(t)=f∗(−t)=rect(τt)e−jπKt2滤波器输出可以由f(t)、h(t)f(t)、h(t)f(t)、h(t)卷积得到，也可以由他们的傅里叶变换乘积再经过傅里叶反变换得到。在实际应用中，通过卷积直接做脉冲压缩的运算量很大。，更多是从频域角度来实现匹配滤波。

4、仿真

参数名称	参数值
带宽（B）	20MHz
脉冲宽度（tao）	10e-6s
脉冲重复间隔（T）	1e-4s
采样频率（fs）	20MHz
目标1距离（R1）	5000m
目标2距离（R2）	8000m
目标3距离（R3）	8300m
目标4距离（R4）	9500m

得到回波如下图：

对回波进行脉冲压缩后的波形如下图：

可以看到，由于目标2、目标3和目标3相距较近，他们的回波信号由接收机接收后会混在一起，难以分辨，但是经过脉冲压缩后，可以很容易的分辨出来。

附上仿真程序：

clear;clc;close allT   =  1e-4;       %最大探测距离 c*T/2=15000m
tao =  10e-6;
B   =  20e6;
fs  =  2*B;
c   =  3e8;  %光速
K   =  B/tao; R   =  [5000 8000 9300 8500];
rcs =  [0.2 0.5 0.3 0.35];
delay = 2*R./c;t=-tao/2:1/fs:tao/2-1/fs;
x_linear=exp(1j*pi*(K.*(t.^2)));  %发射信号
figure
subplot(211);plot(t,real(x_linear));title('时域波形')
X=fftshift(fft(x_linear));
f=linspace(0,fs,length(t))-fs/2;
subplot(212);plot(f,abs(X));title('频域')tt = 0:1/fs:T-1/fs;
echo = zeros(1,length(tt));
for i = 1:length(R)% 回波信号echo = echo + randn(1,length(tt))*0.2 + ...   rcs(i)*rectpuls(tt-delay(i)-tao/2,tao).*exp(1j*pi*K*(tt-delay(i)-tao/2).^2);
endfigure;
plot(tt,real(echo));xlabel('time');title('回波')
h=exp(1j*pi*(K.*(t.^2)));  %匹配滤波器冲击响应
output=ifft(conj(fft(h,length(echo))).*fft(echo,length(echo)));  %h和echo做fft的长度要一样
figure;
subplot(211);plot(0:1/fs:T-1/fs,abs(output));title('脉冲压缩输出波形');xlabel('time');
subplot(212);plot((0:1/fs:T-1/fs)*c/2,db(abs(output)/max(abs(output))),'r');
title('脉压结果分贝图');ylabel('dB');xlabel('m');

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参考：

[1]陈小利. 合成孔径雷达成像研究[D].南京大学,2015.
[2]https://blog.csdn.net/weixin_45858061/article/details/102986993

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